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Ahora, se hace $ a= x^*, b=xi, $

El lado derecho de la ecuación $ \Delta $ se expresa como:

$ g(xi)- g(x^*) = (xi- x^*) g'(\xi) $

donde $ \xi [\epsilon min(xi, x^*), max(xi, x^*) ] $

para obtener $ x_{i+1}- x^* = (xi- x^*)g'(\xi) $ (*)

Uno quiere que; $ | x_{i+1}- x^*|<= |xi- x^*| g'(\xi) $

Si el error absoluto de la iteración i. Sse define como:

$ Ei = xi- x^* $

Entonces la ecuación (*) se convierte en,

$ E_{i+1}= ei g'(\xi) $


Nota: los errores se disminuyen con cada iteración:

Si $ |g'(\xi)| <1 $ los valores crecen si $ |g'(\xi) >1| $


Método de Newton

Idea:Dado que no podemos:

Calcular el cero de f directamente, aproximamos f por una función lineal y calculamos el cero de dicha función lineal.

$ f(xi)- f(x_{i+1})= f'(xi)(x_{i+1}- xi) $

$ f'(xi)= \frac{f(xi- 0)}{xi- x_{i+1}} $

formalmente:

1.- Encontrar una función lineal.

$ l(x)= ax+ b $con,

$ a) l(xi)= f(xi) $

$ b) l'(xi)= f'(xi) $

Definir como x_{i+1} el cero de dicha función lineal:

$ l(x_{i+1})= a x_{i+1}+ b = 0 $

$ x_{i+1}=-b/a $


$ 1.a) l(xi)= axi+ b = f(xi) (I) $

$ 1.b) l'(xi)= a = f'(xi) (II) $


$ (II) a= f'(xi) $

$ (I) b= f(xi)- f'(xi)*xi $


Por lo tanto $ l(x)= f'(xi)x + ( f(xi)- f'(xi)*xi ) $


$ 2.-  x_{i+1} = -b/a = - \frac{( f(xi)- f'(xi)*xi )}{f'(xi)} = xi-  \frac{f(xi)}{f'(xi)}  $


Ejemplo:Utilizar el método de Newton para calcular la raíz de $ f(x)= x^2- 2 =0 $, empleando como valor inicial xo=1.

Realice tres pasos de iteración:

$ f(x)= x^2- 2 =0, f'(x)= 2x $

$ i=0 \rightarrow x1= x0 - \frac{f(x0)}{f'(x0)}= 1- \frac{1-2}{2*1} \rightarrow 1,5 $

$ i=1 \rightarrow x2= x1 - \frac{f(x1)}{f'(x1)}= 1,5- \frac{(1,5^2)-2}{2*1,5} \rightarrow 1,416 $

$ i=2 \rightarrow x3= x2 - \frac{f(x2)}{f'(x2)}= 1,416- \frac{(1,416^2)-2}{2*1,416} \rightarrow 1,4143 $



Tarea:Realizar tres pasos de iteraciones

$ f(x)= e^ (-x)- x $

utilizando ;

a) El método de bisección.

b) El método de Newton