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Ahora, se hace a= x^*, b=xi,

El lado derecho de la ecuación \Delta se expresa como:

g(xi)- g(x^*) = (xi- x^*) g'(\xi)

donde \xi [\epsilon min(xi, x^*), max(xi, x^*) ]

para obtener x_{i+1}- x^* = (xi- x^*)g'(\xi) (*)

Uno quiere que; | x_{i+1}- x^*|<= |xi- x^*| g'(\xi)

Si el error absoluto de la iteración i. Sse define como:

Ei = xi- x^*

Entonces la ecuación (*) se convierte en,

E_{i+1}= ei g'(\xi)


Nota: los errores se disminuyen con cada iteración:

Si |g'(\xi)| <1 los valores crecen si |g'(\xi) >1|


Método de Newton

Idea:Dado que no podemos:

Calcular el cero de f directamente, aproximamos f por una función lineal y calculamos el cero de dicha función lineal.

f(xi)- f(x_{i+1})= f'(xi)(x_{i+1}- xi)

f'(xi)=  \frac{f(xi- 0)}{xi- x_{i+1}}

formalmente:

1.- Encontrar una función lineal.

l(x)= ax+ bcon,

 a) l(xi)= f(xi)

 b) l'(xi)= f'(xi)

Definir como x_{i+1} el cero de dicha función lineal:

l(x_{i+1})= a x_{i+1}+ b = 0

x_{i+1}=-b/a


 1.a) l(xi)= axi+ b = f(xi) (I)

 1.b) l'(xi)= a = f'(xi) (II)


(II) a= f'(xi)

 (I) b= f(xi)- f'(xi)*xi


Por lo tanto l(x)= f'(xi)x + ( f(xi)- f'(xi)*xi )


2.-  x_{i+1} = -b/a = - \frac{( f(xi)- f'(xi)*xi )}{f'(xi)} = xi-  \frac{f(xi)}{f'(xi)} 


Ejemplo:Utilizar el método de Newton para calcular la raíz de f(x)= x^2- 2 =0, empleando como valor inicial xo=1.

Realice tres pasos de iteración:

f(x)= x^2- 2 =0, f'(x)= 2x

i=0 \rightarrow x1= x0 - \frac{f(x0)}{f'(x0)}= 1- \frac{1-2}{2*1} \rightarrow  1,5

i=1 \rightarrow x2= x1 - \frac{f(x1)}{f'(x1)}= 1,5- \frac{(1,5^2)-2}{2*1,5} \rightarrow  1,416

i=2 \rightarrow x3= x2 - \frac{f(x2)}{f'(x2)}= 1,416- \frac{(1,416^2)-2}{2*1,416} \rightarrow  1,4143



Tarea:Realizar tres pasos de iteraciones

f(x)= e^ (-x)- x

utilizando ;

a) El método de bisección.

b) El método de Newton

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