Deducir el método de Newton

Ahora, se hace $a=x^{*},b=xi,$

El lado derecho de la ecuación $\Delta$ se expresa como:

$g(xi)-g(x^{*})=(xi-x^{*})g'(\xi )$

donde $\xi [\epsilon min(xi,x^{*}),max(xi,x^{*})]$

para obtener $x_{i+1}-x^{*}=(xi-x^{*})g'(\xi )$ (*)

Uno quiere que; $|x_{i+1}-x^{*}|<=|xi-x^{*}|g'(\xi )$

Si el error absoluto de la iteración i. Sse define como:

$Ei=xi-x^{*}$

Entonces la ecuación (*) se convierte en,

$E_{i+1}=eig'(\xi )$

Nota: los errores se disminuyen con cada iteración:

Si $|g'(\xi )|<1$ los valores crecen si $|g'(\xi )>1|$

Método de Newton

Idea:Dado que no podemos:

Calcular el cero de f directamente, aproximamos f por una función lineal y calculamos el cero de dicha función lineal.

$f(xi)-f(x_{i+1})=f'(xi)(x_{i+1}-xi)$

$f'(xi)={\frac {f(xi-0)}{xi-x_{i+1}}}$

formalmente:

1.- Encontrar una función lineal.

$l(x)=ax+b$con,

$a)l(xi)=f(xi)$

$b)l'(xi)=f'(xi)$

Definir como x_{i+1} el cero de dicha función lineal:

$l(x_{i+1})=ax_{i+1}+b=0$

$x_{i+1}=-b/a$

$1.a)l(xi)=axi+b=f(xi)(I)$

$1.b)l'(xi)=a=f'(xi)(II)$

$(II)a=f'(xi)$

$(I)b=f(xi)-f'(xi)*xi$

Por lo tanto $l(x)=f'(xi)x+(f(xi)-f'(xi)*xi)$

$2.-x_{i+1}=-b/a=-{\frac {(f(xi)-f'(xi)*xi)}{f'(xi)}}=xi-{\frac {f(xi)}{f'(xi)}}$

Ejemplo:Utilizar el método de Newton para calcular la raíz de $f(x) = x^2 - 2 = 0$, empleando como valor inicial xo=1.

Realice tres pasos de iteración:

$f(x)=x^{2}-2=0,f'(x)=2x$

$i=0\rightarrow x1=x0-{\frac {f(x0)}{f'(x0)}}=1-{\frac {1-2}{2*1}}\rightarrow 1,5$

$i=1\rightarrow x2=x1-{\frac {f(x1)}{f'(x1)}}=1,5-{\frac {(1,5^{2})-2}{2*1,5}}\rightarrow 1,416$

$i=2\rightarrow x3=x2-{\frac {f(x2)}{f'(x2)}}=1,416-{\frac {(1,416^{2})-2}{2*1,416}}\rightarrow 1,4143$

Tarea:Realizar tres pasos de iteraciones

$f(x)=e^{(}-x)-x$

utilizando ;

a) El método de bisección.

b) El método de Newton