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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un problema relacionado con éste método consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecuaciones simultaneas.

f_1(x_1,x_2,.....,x_n)=0

f_2(x_1,x_2,.....,x_n)=0

 ............

 ............

f_n(x_1,x_2,.....,x_n)=0

La solución de este sistema consta de un conjunto de valores xi que simultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero. Para el caso que las ecuaciones simultáneas son lineales, es decir se pueden expresar en la forma general.


f_1(x_1,x_2,.....,x_n)=0

f_2(x_1,x_2,.....,x_n)=0

 ............

 ............

f_n(x_1,x_2,.....,x_n)=0


Donde la b y la a son constantes. A las ecuaciones algebraicas y trascendentales que no se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales. Por ejemplo:

 x^2 + xy = 10  \qquad y +3xy^2 =57


Son dos ecuaciones simultaneas no lineales con dos incógnitas, x y y , las cuales se expresan en la forma de la ecuación como

u(x,y) = x^2 +xy - 10 = 0

v(x,y) = y + 3xy^2 - 57 =0


Así, la solución serán los valores de x y de y que hacen a las funciones u(x,y) y v(x,y) iguales a cero. La mayoría de los métodos para determinar tales soluciones son extensiones de los métodos abiertos para resolver ecuaciones simples. Dos de ellos son: iteración de punto fijo y Newton – Rapson.

ITERACIÓN DE PUNTO FIJO

El método de iteración de punto fijo puede para modificarse para resolver dos ecuaciones simultáneas no lineales. Este método se ilustra ene le siguiente ejemplo.

Iteración de punto fijo para un sistema no lineal Planteamiento del problema. Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces de la ecuación (. Observe que un par correcto de raíces es x=2 y y=3. Inicie el cálculo con el valor inicial x=1.5 \quad y\quad y = 3.5

Solución. En la ecuación se despeja x

X_{i+1} = \frac{10-x1^2}{Y_i}

Y en la ecuación se despeja y

y_{i+1} = 57 -3x_iy_{i^2}

Observe que dejaremos los subíndices en el resto del ejemplo. Con base en los valores iniciales, la ecuación se utiliza para determinar un nuevo valor de x:

 x= \frac{10 - (1,5)^2}{3,5} = 2,21429

Este resultado y el valor inicial de y = 3.5 se sustituye en la ecuación para determinar un nuevo valor de y:

No se pudo entender (error léxico): Y = 57 – 3(2,21429)(3,5)2= -24,37516


Así, parece que el método diverge. Este comportamiento es aun más pronunciado en la segunda iteración:

 x = \frac {10-(2,21429)^2}{-24,37516} = -0,2019

 y=57,3(-0,20910)(-24,377516)^2 = 429,709

En efecto, la aproximación se esta descomponiendo. Se repite el calculo, pero con la ecuación original puesta en forma diferente. Por ejemplo, un despeje alternativo a al ecuación es:

 x =\sqrt{10-xy}

Ahora los resultados son más satisfactorios:

x = \sqrt{10-1,5(3.5)} = 2,17945

 x= \sqrt{\frac{57-3,5}{3(2,17945}} = 2,86051

 x = \sqrt{ 10 -2,17945(2,86051)} = 1,94053

 x = \sqrt{\frac{57-2,86051}{3(1,940552)}} = 3,05955

Así, la aproximación converge hacia la solución correcta x=2 \quad y\quad y=3


Newton - Raphson Editar

El Método Newton–Raphson se utilizo empleando la derivada (al evaluar, es la pendiente de la recta tangente) de un función, para calcular su intersección con el eje de la variable independiente; esto es, la raíz. Dicho calculo se baso en la expansión de la serie de Taylor de primer orden


 f(x{i+1}) = f(x_i) + (x{i+1} - x_i) f'(x_i)

Donde x_i es el valor inicial de la raíz y x_{i+1} es el valor en el cual la recta tangente intercepta al eje x . En esta intersección, f(x_{i+1}) es por definicion, igual a cero y la ecuación se reordena para tener.

 x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}

Que es la forma del método de Newton-Raphson para una sola ecuación. La forma para múltiples ecuaciones se obtiene en forma idéntica. Sin embargo, se debe usar una serie de Taylor de múltiples variables para tomar en cuenta el hecho de que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz. En el caso de dos variables, una serie de Taylor de primer orden se escribe para cada ecuación no lineal como:

 u_{i+1} = u_i + (x_{i+1} - x_i) \frac{\partial u_i}{\partial x} + (y_{i+1} - y_i)\frac{\partial u_i}{\partial y}

y


 v_{i+1} = u_i + (x_{i+1} - x_i) \frac{\partial u_i}{\partial x} + (y_{i+1} - y_i)\frac{\partial u_i}{\partial y}

De la misma manera como en la versión para una sola ecuación, la raíz aproximada corresponde a los valores de x y y, donde u_{i+1} y v_{i+1} son iguales a cero. En tal situación, se reordena la ecuación como:

\frac{\partial u_i}{\partial x} x_{i+1} + \frac{\partial u_i}{\partial y} y_{i+1} = -u_i + x_i \frac{\partial u_i}{\partial x} + y_i \frac{\partial u_i}{\partial y}


\frac{\partial v_i}{\partial x} x_{i+1} + \frac{\partial v_i}{\partial y} y_{i+1} = -v_i + x_i \frac{\partial v_i}{\partial x} + y_i \frac{\partial v_i}{\partial y}

Debido a que se conocen todos los valores con subíndice i (corresponde al ultimo valor estimado), las únicas incógnitas son x_{i+1} y y_{i+1}. Entonces, la ecuación es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En consecuencia, se pueden usar manipulaciones algebraicas (por ejemplo, la regla de Cramer) para resolverlo:

y_{i+1} = x_i - \frac{v_i\frac{\partial u_i}{\partial x} - u_i\frac{\partial v_i}{\partial x}}{\frac{\partial u_i}{\partial x} \frac{\partial v_i}{\partial y} \frac{\partial u_i}{\partial y} \frac{\partial v_i}{\partial x}}

El denominador de cada una de estas ecuaciones se conoce formalmente como el determinante Jacobiano del sistema. La ecuación es la versión para dos ecuaciones del Método de Newton-Raphson. Como en el siguiente ejemplo, se puede emplear en forma iterativa para determinar las raíces de dos ecuaciones simultaneas.


Newton-Raphson para un sistema no lineal. Editar

Planteamiento del problema. Con el método de Newton-Raphson para múltiples ecuaciones determine las raíces de la ecuación .Observe que un par correcto de raíces es  x=2 y y=3. Use como valores iniciales x=1.5 y y=3.5.

Solución. Primero calcule las derivadas parciales y evalúelas con los valores iniciales de x y y:

 \frac{\partial u_0}{\partial x} = 2x + y = 2(1,5)+ 3,5 = 6,5

 \frac{\partial u_0}{\partial y} = x = 1,5

 \frac{\partial v_0}{\partial x} = 3y^2 = 3(3,5)^2 = 36,75

 \frac{\partial v_0}{\partial y} = 1 + 6xy = 1 + 6(1,5)(3,5) = 32,5

Así, el determinante jacobiano para la primera iteración es

 6,5(32,5) - 1,5(36,75) = 156,125

Los valores de las funciones se evalúan con los valores iniciales como

 u_0 = (1,5)^2 + 1,5(3,5) - 10 = -2,5

 v_0 = 3,5 + 3(1,5)(3,5)^2 - 57 = 1,625

Estos valores se sustituyen en la ecuación


Ssss


Así, los resultados están convergiendo a los valores verdaderos x=2 y x=3. Los cálculos se repiten hasta que se obtenga una precisión aceptable.

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