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Minimizar la diferencia dentro de datos de observación yi, i= 1,.., n y el pronóstico del modelo yi, i=1,..n.


 $            min, a0,a1 = \sum_{i=1}^{n} {(yi- yi')^2}           $

Entonces, tenemos

$ 0= \sum_{i=1}^{n} {yi}- \sum_{i=1}^{n} {a0}- \sum_{i=1}^{n} {a1xi} $

$ 0= \sum_{i=1}^{n} {yixi}- \sum_{i=1}^{n} {a0xi}- \sum_{i=1}^{n} {a1xi^2} $

$ na0+ (\sum_{i=1}^{n} {a1xi}^2)a1 = \sum_{i=1}^{n} {yi} (I) $

$ (\sum_{i=1}^{n} {xi})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a1 = \sum_{i=1}^{n} {yixi} (II) $

Estas se llaman ecuaciones normales y se resuelven en forme simultánea.

$ a1= \frac{n\sum_{i=1}^{n} {yixi}- \sum_{i=1}^{n} {xi}\sum_{i=1}^{n} {yi} }{n\sum_{i=1}^{n} {xi^2}- (\sum_{i=1}^{n} {xi})^2 } $

Este resultado resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación * para obtener:

a0= y'- a1x' donde y' y x' son las medidas de y , x respectivamente.

Dos ecuaciones con dos coeficientes a0,a1 desconocidos, en forma matricial:


$           \mathbb\;          \begin{pmatrix}                   {n} & {\sum_{i=1}^{n} {xi}} \\             {\sum_{i=1}^{n} {xi}} & {\sum_{i=1}^{n} {xi^2}}                      \end{pmatrix}                             {a0\choose a1} \quad              {{\sum_{i=1}^{n} {yi}}\choose {\sum_{i=1}^{n} {xiyi}}} \quad               $


Xa=y Ecuación lineal de forma Matricial

Linealización de relaciones no lineales

Ejemplo:Modelo exponencial

$ y = \alpha1 e^ {\beta1x} (*) $

EjercicioTransformar el modelo exponencial(*) a un modelo lineal de forma.

$ y= a0+ a1x $

y resolver el modelo exponencial utilizando esta transformación.

Modelo exponencial: La ecuación (*) se linealiza al aplicar el logaritmo natutal. Se obtiene lo siguiente:

$ ln y = ln (\alpha1 e^ {\beta1x}) $

$ ln y = ln \alpha1 + lne^{\beta1x}) $

$ ln y = ln \alpha1 + \beta1x $

Ejemplo:

$ y= ln \alpha2 + x^{\beta1x}) $

Aplicar el logaritmo de base 10:

$ log y= \beta2 log {\alpha x}+ log{\alpha 2} $

De este modo, una página de log y contra log \beta dará una línea recta con pendiente $ \beta2 $ e intersección con el eje de las ordenadas $ log{\alpha 2} $

Ejemplo: $ y= \alpha3 \frac{x}{\beta3 + x} $

Invertir en ambos lados:

$ 1/y = \frac{\beta3 + x}{\alpha3x} $

$ 1/y = \frac{\beta3}{\alpha3x}+ \frac{1}{\alpha3} $

De esta forma una gráfica de 1/y centro 1/x será lineal, con pendiente $ \beta3/\alpha3 $ y una intersección con el eje de las ordenadas $ 1/\alpha3 $


Tarea:Dado el modelo cuadrática

$ y= a0+ a1x+ a2x^2 +e $

definimos la suma de ,os cuadrados de los residuos.


$ S_{r}= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)^2} $

1.- Calcular las derivadas parciales$ \frac{\partial S_r}{\partial a_0}, \frac{\partial S_r}{\partial a_1}, \frac{\partial S_r}{\partial a_2} $


2.- Formular el sistema de ecuaciones lineales

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_0}= 0 $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_1}= 0 $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_2}= 0 $, una forma matricial.


1.-

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_0}= - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)} $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_1}= - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)} {(x1i)} $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_2}= - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)} {(x2i^2)} $

A continuación realizamos:

$ n(a0)+ (\sum_{i=1}^{n} {xi})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a2 = \sum_{i=1}^{n} {yi} $


$ (\sum_{i=1}^{n} {xi})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^3})a2 = \sum_{i=1}^{n} {xiyi} $

$ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^3})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^4})a2 = \sum_{i=1}^{n} {xi^2yi} $