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Minimizar la diferencia dentro de datos de observación yi, i= 1,.., n y el pronóstico del modelo yi, i=1,..n.


 
          min, a0,a1 = \sum_{i=1}^{n} {(yi- yi')^2}
         

Entonces, tenemos

 
0= \sum_{i=1}^{n} {yi}- \sum_{i=1}^{n} {a0}- \sum_{i=1}^{n} {a1xi}

 
0= \sum_{i=1}^{n} {yixi}- \sum_{i=1}^{n} {a0xi}- \sum_{i=1}^{n} {a1xi^2}


na0+ (\sum_{i=1}^{n} {a1xi}^2)a1 = \sum_{i=1}^{n} {yi}  (I)


(\sum_{i=1}^{n} {xi})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a1 = \sum_{i=1}^{n} {yixi}  (II)

Estas se llaman ecuaciones normales y se resuelven en forme simultánea.


a1= \frac{n\sum_{i=1}^{n} {yixi}- \sum_{i=1}^{n} {xi}\sum_{i=1}^{n} {yi} }{n\sum_{i=1}^{n} {xi^2}- (\sum_{i=1}^{n} {xi})^2 }

Este resultado resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación * para obtener:

a0= y'- a1x' donde y' y x' son las medidas de y , x respectivamente.

Dos ecuaciones con dos coeficientes a0,a1 desconocidos, en forma matricial:



         \mathbb\;
         \begin{pmatrix}
                  {n} & {\sum_{i=1}^{n} {xi}} \\
            {\sum_{i=1}^{n} {xi}} & {\sum_{i=1}^{n} {xi^2}}
           
         \end{pmatrix}
      
      
      
       {a0\choose a1} \quad
      
      {{\sum_{i=1}^{n} {yi}}\choose {\sum_{i=1}^{n} {xiyi}}} \quad
      
      


Xa=y Ecuación lineal de forma Matricial

Linealización de relaciones no lineales

Ejemplo:Modelo exponencial


y = \alpha1 e^ {\beta1x}  (*)

EjercicioTransformar el modelo exponencial(*) a un modelo lineal de forma.


y= a0+ a1x

y resolver el modelo exponencial utilizando esta transformación.

Modelo exponencial: La ecuación (*) se linealiza al aplicar el logaritmo natutal. Se obtiene lo siguiente:


ln y = ln (\alpha1 e^ {\beta1x})


ln y = ln \alpha1 + lne^{\beta1x})


ln y = ln \alpha1 + \beta1x

Ejemplo:


y= ln \alpha2 + x^{\beta1x})

Aplicar el logaritmo de base 10:


log y= \beta2 log {\alpha x}+ log{\alpha 2}

De este modo, una página de log y contra log \beta dará una línea recta con pendiente \beta2 e intersección con el eje de las ordenadas log{\alpha 2}

Ejemplo: y= \alpha3 \frac{x}{\beta3 + x}

Invertir en ambos lados:

1/y = \frac{\beta3 + x}{\alpha3x}

1/y = \frac{\beta3}{\alpha3x}+ \frac{1}{\alpha3}

De esta forma una gráfica de 1/y centro 1/x será lineal, con pendiente \beta3/\alpha3 y una intersección con el eje de las ordenadas 1/\alpha3


Tarea:Dado el modelo cuadrática

y= a0+ a1x+ a2x^2 +e

definimos la suma de ,os cuadrados de los residuos.


S_{r}= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)^2}

1.- Calcular las derivadas parciales \frac{\partial S_r}{\partial a_0}, \frac{\partial S_r}{\partial a_1}, \frac{\partial S_r}{\partial a_2}


2.- Formular el sistema de ecuaciones lineales

\frac{\partial S_r}{\partial a_0}= 0

\frac{\partial S_r}{\partial a_1}= 0

\frac{\partial S_r}{\partial a_2}= 0, una forma matricial.


1.-

\frac{\partial S_r}{\partial a_0}=  - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)}

\frac{\partial S_r}{\partial a_1}=  - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)} {(x1i)}

\frac{\partial S_r}{\partial a_2}=  - 2= \sum_{i=1}^{n} {(yi- a0- a1x1i- a2xi^2)} {(x2i^2)}

A continuación realizamos:

n(a0)+ (\sum_{i=1}^{n} {xi})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a2 = \sum_{i=1}^{n} {yi}


(\sum_{i=1}^{n} {xi})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^3})a2 = \sum_{i=1}^{n} {xiyi}

(\sum_{i=1}^{n} {xi^2})a0+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^3})a1+ (\sum_{i=1}^{n} {xi^4})a2 = \sum_{i=1}^{n} {xi^2yi}

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