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Ejercicios:

Calcular $ \displaystyle\int_{a}^{b} f_1(x)dx $ cuando $ f_1 $ es lineal y simplificar el resultado:

Resolución:

$ f_1(x)=f(a)+\frac{x-a}{b-a} (f(b)-f(a)) $

$ \displaystyle\int_{a}^{b} f(a)+\frac{x-a}{b-a} (f(b)-f(a))\, dx $

$ \displaystyle\int_{a}^{b} x \frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f(a)-a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} dx $

$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} * \frac{x^2}{2}|_a^b + f(a)|_a^b -a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} x|_a^b $

$ \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)2}*(b^2-a^2)+f(a)(b-a)-a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} * (b-a) $

Simplificación del resultado algebraicamente:

$ \frac{f(b)-f(a)}{2}(b+a)+f(a)(b-a)-a (f(b)-f(a)) $

$ (f(b)-f(a))*(\frac{b+a}{2}-a)+f(a)(b-a) $

$ (f(b)-f(a))*(\frac{(b+a)-2a}{2})+f(a)(b-a) $

$ (f(b)-f(a))*(\frac{b-a}{2})+f(a)(b-a) $

$ \frac{f(b)(b-a)}{2}-\frac{f(a)(b-a)}{2}+f(a)(b-a) $

$ \frac{f(b)(b-a)-f(a)(b-a)}{2}+f(a)(b-a) $

$ \frac{f(b)(b-a)-f(a)(b-a)+2(f(a)(b-a))}{2} $

Finalmente obtenemos:

$ \frac{(b-a)(f(b)+f(a))}{2} $