Ejercicios:
Calcular
∫
a
b
f
1
(
x
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle\int_{a}^{b} f_1(x)dx}
f
1
{\displaystyle f_1}
Resolución:
f
1
(
x
)
=
f
(
a
)
+
x
−
a
b
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
{\displaystyle f_1(x)=f(a)+\frac{x-a}{b-a} (f(b)-f(a))}
∫
a
b
f
(
a
)
+
x
−
a
b
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
d
x
{\displaystyle \displaystyle\int_{a}^{b} f(a)+\frac{x-a}{b-a} (f(b)-f(a))\, dx}
∫
a
b
x
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
+
f
(
a
)
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
b
−
a
d
x
{\displaystyle \displaystyle\int_{a}^{b} x \frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f(a)-a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} dx}
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
∗
x
2
2
|
a
b
+
f
(
a
)
|
a
b
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
b
−
a
x
|
a
b
{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} * \frac{x^2}{2}|_a^b + f(a)|_a^b -a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} x|_a^b}
f
(
b
)
−
f
(
a
)
(
b
−
a
)
2
∗
(
b
2
−
a
2
)
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
b
−
a
∗
(
b
−
a
)
{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)2}*(b^2-a^2)+f(a)(b-a)-a \frac{(f(b)-f(a))}{b-a} * (b-a)}
Simplificación del resultado algebraicamente:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
2
(
b
+
a
)
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
−
a
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{2}(b+a)+f(a)(b-a)-a (f(b)-f(a))}
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
∗
(
b
+
a
2
−
a
)
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle (f(b)-f(a))*(\frac{b+a}{2}-a)+f(a)(b-a)}
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
∗
(
(
b
+
a
)
−
2
a
2
)
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle (f(b)-f(a))*(\frac{(b+a)-2a}{2})+f(a)(b-a)}
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
∗
(
b
−
a
2
)
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle (f(b)-f(a))*(\frac{b-a}{2})+f(a)(b-a)}
f
(
b
)
(
b
−
a
)
2
−
f
(
a
)
(
b
−
a
)
2
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \frac{f(b)(b-a)}{2}-\frac{f(a)(b-a)}{2}+f(a)(b-a)}
f
(
b
)
(
b
−
a
)
−
f
(
a
)
(
b
−
a
)
2
+
f
(
a
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \frac{f(b)(b-a)-f(a)(b-a)}{2}+f(a)(b-a)}
f
(
b
)
(
b
−
a
)
−
f
(
a
)
(
b
−
a
)
+
2
(
f
(
a
)
(
b
−
a
)
)
2
{\displaystyle \frac{f(b)(b-a)-f(a)(b-a)+2(f(a)(b-a))}{2}}
Finalmente obtenemos:
(
b
−
a
)
(
f
(
b
)
+
f
(
a
)
)
2
{\displaystyle \frac{(b-a)(f(b)+f(a))}{2}}
