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Jueves 25 de Octubre Editar

Integración Numérica (Aporte: Natalia Gonzalez e Isabel Cisterna) Editar

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

$ \int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x)\, dx = (x_{2}-x_{0}) \sum_{i=0}^2 p_{i}f(x_{i})= (x_{2}-x_{0})(p_{0}f(x_{0})+ p_{1}f(x_{1})+ p_{2}f(x_{2})) \Theta $

nodos $ x_{0}, x_{1}, x_{2} $ ponderaciones $ p_{0}, p_{1}, p_{2} $

Para entender más sobre la integración numérica, veremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio: Dado los nodos $ x_{0}=0, x_{1}=1/2, x_{2}=1, $ encontrar ponderaciones $ p_{0}, p_{1}, p_{2} $ tal que la ecuación $ \Theta $, es decir, $ \int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x)\, dx = (p_{0}f(0)+ p_{1}f(1/2)+ p_{2}f(1)) $, sea válida si f es una función cuadrática, es decir,

$ \begin{align} f(x) & = & a + bx + cx^2. \end{align} $


Paso 1: Calcular(Lado Izquierdo) $ \int_{0}^{1} f(x)\, dx =\begin{align} \int_{0}^{1} (a + bx + cx^2) \, dx. \end{align} $

$ = \int_{0}^{1} a \, dx +\int_{0}^{1} bx \, dx + \int_{0}^{1} cx^2 \, dx $

$ = a+ \frac{b}{2}+ \frac{c}{3}. $


Paso 2: Calcular(Lado Derecho)

$ p_{0} f(0)+ p_{1} f(1/2) + p_{2} f(1) $

$ a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = p_{0} (a + b\cdot 0 + c\cdot 0) + p_{1}(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}) + p_{2} (a + b\cdot 1 + c\cdot 1) $

$ a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = p_{0}\cdot a + p_{1}\cdot a + p_{1}\frac{b}{2} + p_{1}\frac{c}{4} + p_{2}\cdot a + p_{2}\cdot b + p_{2}\cdot c $

$ a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b(\frac{p_{1}}{2} + p_{2}) + c(\frac{p_{1}}{4} + p_{2}) $


Paso 3: Comparar ambos lados

$ a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} = a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b (\frac{p_{1}}{2} + p_{2}) + c (\frac{p_{1}}{4} + p_{2}) $

Esta ecuación debe ser válida para cualquiera selección del triple de parámetros $ (a, b, c) $, en particular para $ (a, b, c) = (1, 0, 0),(0,1,0) , (0,0,1). $entonces tenemos tres ecuaciones con tres variables: $ p_{0}, p_{1}, p_{2}. $

Formular el sistema de tres ecuaciones,

$ (1,0,0) \Rightarrow 1 + \frac{0}{2} + \frac{0}{3} = p_{0} + p_{1} + p_{2} $

        A) $  1 = p_{0} + p_{1} + p_{2} $

$ (0,1,0) \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{p_{1}}{2} + p_{2} $

        B) $ p_{2} = \frac{1}{2} - \frac{p_{1}}{2} $

$ (0,0,1) \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{p_{1}}{4} + p_{2} $

        C) $  p_{2} = \frac{1}{3} - \frac{p_{1}}{4} $


Por lo tanto, al igualar B) con C) obtenemos la siguiente ecuación:

$ p_{1} = \frac{2}{3} $

Reemplazando $ p_{1} $ tenemos el valor de $ p_{2} = \frac{1}{6} $

Y finalmente $ p_{0} = \frac{1}{6} $