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Jueves 25 de Octubre Editar

Integración Numérica (Aporte: Natalia Gonzalez e Isabel Cisterna) Editar

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:


 
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x)\, dx

= (x_{2}-x_{0}) \sum_{i=0}^2 p_{i}f(x_{i})=  (x_{2}-x_{0})(p_{0}f(x_{0})+ p_{1}f(x_{1})+ p_{2}f(x_{2}))  \Theta

nodos  x_{0}, x_{1}, x_{2} ponderaciones p_{0}, p_{1}, p_{2}

Para entender más sobre la integración numérica, veremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio: Dado los nodos  x_{0}=0, x_{1}=1/2, x_{2}=1, encontrar ponderaciones p_{0}, p_{1}, p_{2} tal que la ecuación   \Theta , es decir, 
 
\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x)\, dx

= (p_{0}f(0)+ p_{1}f(1/2)+ p_{2}f(1))  

, sea válida si f es una función cuadrática, es decir,



\begin{align}
      f(x) 
           & = & a + bx + cx^2.
   \end{align}


Paso 1: Calcular(Lado Izquierdo) 
 
\int_{0}^{1} f(x)\, dx

=\begin{align}
      \int_{0}^{1} 
            (a + bx + cx^2) \, dx.
   \end{align}


= \int_{0}^{1}  a \, dx +\int_{0}^{1}  bx \, dx + \int_{0}^{1}  cx^2 \, dx


= a+ \frac{b}{2}+ \frac{c}{3}.


Paso 2: Calcular(Lado Derecho)


p_{0} f(0)+ p_{1} f(1/2) + p_{2} f(1)




a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = p_{0} (a + b\cdot 0 + c\cdot 0) + p_{1}(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}) + p_{2} (a + b\cdot 1 + c\cdot 1)


a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = p_{0}\cdot a + p_{1}\cdot a + p_{1}\frac{b}{2} + p_{1}\frac{c}{4} + p_{2}\cdot a + p_{2}\cdot b + p_{2}\cdot c


a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} = a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b(\frac{p_{1}}{2} + p_{2}) + c(\frac{p_{1}}{4} + p_{2})


Paso 3: Comparar ambos lados


a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} = a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b (\frac{p_{1}}{2} + p_{2}) + c (\frac{p_{1}}{4} + p_{2})

Esta ecuación debe ser válida para cualquiera selección del triple de parámetros (a, b, c), en particular para (a, b, c) = (1, 0, 0),(0,1,0) , (0,0,1).entonces tenemos tres ecuaciones con tres variables:  p_{0}, p_{1}, p_{2}.

Formular el sistema de tres ecuaciones,


(1,0,0) \Rightarrow 1 + \frac{0}{2} + \frac{0}{3} = p_{0} + p_{1} + p_{2}

        A)  1 = p_{0} + p_{1} + p_{2}


(0,1,0) \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{p_{1}}{2} + p_{2}

        B) p_{2} = \frac{1}{2} - \frac{p_{1}}{2}


(0,0,1) \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{p_{1}}{4} + p_{2}

        C)  p_{2} = \frac{1}{3} - \frac{p_{1}}{4}


Por lo tanto, al igualar B) con C) obtenemos la siguiente ecuación:

p_{1} = \frac{2}{3}

Reemplazando p_{1} tenemos el valor de p_{2} = \frac{1}{6}

Y finalmente p_{0} = \frac{1}{6}

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