FANDOM



Desarrollo Prueba N°1


1.Sistema Sobredeterminado

Ajustar una función cuadrática al conjunto de valores medidos de la función cubica $ f(x) = x^{2} - 1 $ en los puntos $ t_i = 2(i-2),\quad i = 0,1,...,4. $ Es suficiente escribir el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

R:

Puntos $ t_i = 2(i-2),\quad i = 0,1,...,4. $

función $ f(x) = x^{2} - 1 $

Tabla $ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline t_i & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline f_i=f(t_i) & 15 & 3 & -1 & 3 & 15\\ \hline \end{array} $

$ (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 ; \qquad f(x) = x^{2} - 1 $

$ a_0-4a_2=15 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad g(t_i)=a_0+a_1 t_1+a_2 t^{2} _i $

$ a_0+a_1-2a_2 + a_3 = 3 $

$ a_0+2a++4a_3=-1 $

$ a_0+3a+2a+9a_3=3 $

$ a_0+a_0+4a_1+4a_2+16a_3 = 15 $


$ \mathbb\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 9 \\ 1 & 4 & 4 & 16 \end{pmatrix} $ $ \mathbb\; \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{pmatrix} $ = $ \mathbb\; \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \\ -1 \\ 3 \\ 15 \end{pmatrix} $


$ \mathbb\; \begin{pmatrix} 1 & -4 & 16 \\ 1 & -2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix} $ $ \mathbb\; \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} $ = $ \mathbb\; \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \\ -1 \\ 3 \\ 15 \end{pmatrix} $


2.Ajuste de curvas

Dado los datos de la tabla

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} x_i & -3 & -2 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y_i & 5 & -7 & 2 & 9 & 4 \\ \end{array} $

Determinar la matriz que corresponde a la aproximacion por la funcion $ f(x) = ae^x + be^{x/2} . $

R:

Modelo $ f(x) = ae^x + be^{x/2} . $ es lineal en los parámetros a evaluar en cada $ x_i $

$ f(-3)=ae^{-3} + be^{-3/2} = 5 $

$ f(-2)=ae^{-2} + be^{-1} = 7 $

$ f(-0)=ae^{0} + be^{0} = 2 $

$ f(-1)=ae^{1} + be^{1/2} = 9 $

$ f(-4)=ae^{4} + be^{2} = 4 $


$ \mathbb\; \begin{pmatrix} e^{-3} & e^{-3/2} \\ e^{-2} & e^{-1} \\ 1 & 1 \\ e^{1} & e^{1/2} \\ e^{4} & e^{2} \end{pmatrix} $ $ \mathbb\; \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} $ = $ \mathbb\; \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} $


3. Ceros de una función

Dada la ecuación $ f(x)=x^{3} = 0, $aproximar el cero positivo al realizar tres pasos de iteración utilizando,

(a) el método de bisección con el intervalo inicial $ [2,3] $

(b) el método de newton con valor inicial $ x_0 = 2 $

Colocar todos los valores relevantes obtenidas durante las iteraciones en una tabla única.

R:

a)

i. N Intervalo $ [-2,3] $

$ f(x_i)f(x_u) < 0 \quad? $

$ f(-2)f(3) < 0 \quad \surd $

ii. $ x_r= \frac{-2+3}{2} = 1 $

iii. $ f(x_i)f(x_r)=8*1 $

$ 8<0 (caso a) $

$ x_u \leftarrow \ x_r = 1 $