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Desarrollo Prueba N°1


1.Sistema Sobredeterminado

Ajustar una función cuadrática al conjunto de valores medidos de la función cubica f(x) = x^{2} - 1 en los puntos t_i = 2(i-2),\quad i = 0,1,...,4. Es suficiente escribir el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

R:

Puntos t_i = 2(i-2),\quad i = 0,1,...,4.

función f(x) = x^{2} - 1

Tabla 
   \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
      \hline
      t_i & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\
      \hline
      f_i=f(t_i) & 15 & 3 & -1 & 3 & 15\\
    
      \hline
   \end{array}

(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 ; \qquad f(x) = x^{2} - 1

a_0-4a_2=15 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad g(t_i)=a_0+a_1 t_1+a_2 t^{2} _i

a_0+a_1-2a_2 + a_3 = 3

a_0+2a++4a_3=-1

a_0+3a+2a+9a_3=3

a_0+a_0+4a_1+4a_2+16a_3 = 15



\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & -4 & 0 \\
      1 & 1 & -2 & 1 \\
      1 & 2 & 0 & 4 \\
      1 & 3 & 2 & 9 \\
      1 & 4 & 4 & 16 
   \end{pmatrix}

\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      a_0  \\
      a_1  \\
      a_2  \\
      a_3  \\  
   \end{pmatrix}
= 
\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      15  \\
      3  \\
      -1  \\
      3  \\
      15
   \end{pmatrix}



\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      1 & -4 & 16 \\
      1 & -2 & 4 \\
      1 & 0  & 0 \\
      1 & 2  & 4 \\
      1 & 4  & 16
   \end{pmatrix}

\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      a_0  \\
      a_1  \\
      a_2  \\  
   \end{pmatrix}
= 
\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      15  \\
      3  \\
      -1  \\
      3  \\
      15
   \end{pmatrix}


2.Ajuste de curvas

Dado los datos de la tabla


   \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
      
      x_i & -3 & -2 & 0 & 1 & 4 \\
      \hline
      y_i & 5 & -7 & 2 & 9 & 4 \\
     
   \end{array}

Determinar la matriz que corresponde a la aproximacion por la funcion f(x) = ae^x + be^{x/2} .

R:

Modelo f(x) = ae^x + be^{x/2} . es lineal en los parámetros a evaluar en cada x_i

f(-3)=ae^{-3} + be^{-3/2} = 5

f(-2)=ae^{-2} + be^{-1} = 7

f(-0)=ae^{0} + be^{0} = 2

f(-1)=ae^{1} + be^{1/2} = 9

f(-4)=ae^{4} + be^{2} = 4



\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      e^{-3} &  e^{-3/2} \\
      e^{-2} & e^{-1} \\
      1 & 1  \\
      e^{1} & e^{1/2}  \\
      e^{4} & e^{2} 
   \end{pmatrix}

\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      a  \\
      b  \\
       
   \end{pmatrix}
= 
\mathbb\;
   \begin{pmatrix}
      5  \\
      -7  \\
      2  \\
      9  \\
      4
   \end{pmatrix}


3. Ceros de una función

Dada la ecuación f(x)=x^{3} = 0, aproximar el cero positivo al realizar tres pasos de iteración utilizando,

(a) el método de bisección con el intervalo inicial [2,3]

(b) el método de newton con valor inicial x_0 = 2

Colocar todos los valores relevantes obtenidas durante las iteraciones en una tabla única.

R:

a)

i. N Intervalo [-2,3]

f(x_i)f(x_u) < 0 \quad?

f(-2)f(3) < 0 \quad \surd

ii. x_r= \frac{-2+3}{2} = 1

iii. f(x_i)f(x_r)=8*1

8<0 (caso a)

x_u  \leftarrow \ x_r = 1

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