Jueves 27 de Septiembre

Desarrollo Prueba N°1

1.Sistema Sobredeterminado

Ajustar una función cuadrática al conjunto de valores medidos de la función cubica $f(x) = x^2 -1$ en los puntos $t_{i}=2(i-2),\quad i=0,1,...,4.$ Es suficiente escribir el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

R:

Puntos $t_{i}=2(i-2),\quad i=0,1,...,4.$

función $f(x) = x^2 -1$

Tabla ${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline i&0&1&2&3&4\\\hline t_{i}&-4&-2&0&2&4\\\hline f_{i}=f(t_{i})&15&3&-1&3&15\\\hline \end{array}}$

$(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3};\qquad f(x)=x^{2}-1$

$a_{0}-4a_{2}=15\qquad \qquad \qquad \qquad \quad g(t_{i})=a_{0}+a_{1}t_{1}+a_{2}t_{i}^{2}$

$a_{0}+a_{1}-2a_{2}+a_{3}=3$

$a_{0}+2a++4a_{3}=-1$

$a_{0}+3a+2a+9a_{3}=3$

$a_{0}+a_{0}+4a_{1}+4a_{2}+16a_{3}=15$

$\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}1&0&-4&0\\1&1&-2&1\\1&2&0&4\\1&3&2&9\\1&4&4&16\end{pmatrix}}$ $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$ = $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}15\\3\\-1\\3\\15\end{pmatrix}}$

$\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}1&-4&16\\1&-2&4\\1&0&0\\1&2&4\\1&4&16\end{pmatrix}}$ $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\end{pmatrix}}$ = $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}15\\3\\-1\\3\\15\end{pmatrix}}$

2.Ajuste de curvas

Dado los datos de la tabla

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x_{i}&-3&-2&0&1&4\\\hline y_{i}&5&-7&2&9&4\\\end{array}}$

Determinar la matriz que corresponde a la aproximacion por la funcion $f(x)=ae^{x}+be^{x/2}.$

R:

Modelo $f(x)=ae^{x}+be^{x/2}.$ es lineal en los parámetros a evaluar en cada $x_i$

$f(-3)=ae^{-3}+be^{-3/2}=5$

$f(-2)=ae^{-2}+be^{-1}=7$

$f(-0)=ae^{0}+be^{0}=2$

$f(-1)=ae^{1}+be^{1/2}=9$

$f(-4)=ae^{4}+be^{2}=4$

$\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}e^{-3}&e^{-3/2}\\e^{-2}&e^{-1}\\1&1\\e^{1}&e^{1/2}\\e^{4}&e^{2}\end{pmatrix}}$ $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$ = $\mathbb {\;} {\begin{pmatrix}5\\-7\\2\\9\\4\end{pmatrix}}$