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Sistema de ecuaciones no linealesEditar

Objetivo: obtener las raíces de un conjunto de ecuaciones simultaneas.


$ \left . \begin{matrix} f_1(x_1,x_2,...,x_n)=0\\ f_2(x_1,x_2,...,x_n)=0\\ .\\ .\\ .\\ f_n(x_1,x_2,...,x_n)=0 \end{matrix} \right \} $(*)


La solucion de este sistema consta de un conjunto de $ x_i,i=1,...,n; $ que simultaneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero.

Ejercicio: Exprese las dos ecuaciones no lineales

$ x^2+xy=10 $

$ y+3xy^2=57 $

con dos incognitas en forma de ecuacion (*)

$ \left . \begin{matrix} f(x,y)=x^2+xy-10=0 [F]\\ g(x,y)=y+3xy^2-57=0 [G]\\ \end{matrix} \right \} $[+]

iteracion de un punto fijo para un sistema no lineal.

Ejercicio: Determinar las raices de la ecuacion [+] con el metodo de iteracion de punto fijo. Iniciar el calculo con el valor inicial $ x=1.5 y=3.5 $ para deducir el metodo en la ecuacion [F] se despeja $ x $ y en la ecuacion [G] se despeja $ y $.


Variante1

$ x_{i+1}=\frac{10-x_i^2}{y_i} $

$ y_{i+1}=57-3x_iy_i^2 $


Inicia con $ i=0 , x_0=1.5 , y_0 = 3,5 $


Variante2

$ x_{i+1}=\sqrt{10-x_iy_i} $

$ y_{i+1}=\sqrt{\frac{57-y_i}{3x_i}} $


Desventaja del metodo de iteracion de un punto fijo, la convergencia depende de la forma que se formula la ecuacion:

Variante1: la aproximacion ya esta descompuesta.

Variante2: la aproximacion converge hacia la solucion correcta x=2 y=3.


Repaso: El metodo de Newton para una ecuacion escalar $ f:R->R $

Objetivo: Encontrar un cero de f, es decir un x donde $ f(x)=0 $.

Deducción por seria de Taylor de primer orden.

$ f(x_{i+1})= f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i) $,(1)

donde $ x_i $ es el valor inicial y $ x_{i+1} $ es el valor en el cual la linea recta intersecta la eje x: $ f(x_{i+1})=0 $ ,(2)

Reordenar:

$ x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} $

metodo de Newton para dos ecuaciones

$ u(x,y)=0 $

$ v(x,y)=0 $

serie de Taylor de múltiples variables

(1)

$ u_{i+1}=u_i+\frac{\partial u_i}{\partial x}(x_{i+1}+x_i)+\frac{\partial u_i}{\partial y}(y_{i+1}-y_i) $

$ v_{i+1}=v_i+\frac{\partial v_i}{\partial x}(x_{i+1}+x_i)+\frac{\partial v_i}{\partial y}(y_{i+1}-y_i) $

notacion: $ u_i= u(x_i,y_i), v_i=v(x_i,y_i) $

(2)

$ u_{i+1}=u(x_{i+1},y_{i+1})=0 $

$ v_{i+1}=v(x_{i+1},y_{i+1})=0 $

$ \begin{array}{llll}\Delta x=x_{i+1}-x_i, \Delta y=y_{i+1}-y_i\end{array} $

Reordenar

$ \frac{\partial u_i}{\partial x}\begin{array}{llll}\Delta x + \frac{\partial u_i}{\partial x}\Delta y=-u_i\end{array} $

$ \frac{\partial v_i}{\partial x}\begin{array}{llll}\Delta x + \frac{\partial v_i}{\partial x}\Delta y=-v_i\end{array} $


Forma matricial

$ \; \begin{pmatrix} \frac{\partial u_i}{\partial x} & \frac{\partial u_i}{\partial y} \\ \frac{\partial v_i}{\partial x} & \frac{\partial u_i}{\partial y} \\ \end{pmatrix} $ $ \; \begin{array}{llll} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix} \end{array} $ = $ \; \begin{pmatrix} u_i \\ v_i \\ \end{pmatrix} $