FANDOM


Sistema de ecuaciones no linealesEditar

Objetivo: obtener las raíces de un conjunto de ecuaciones simultaneas.


\left . 
       \begin{matrix}
f_1(x_1,x_2,...,x_n)=0\\
f_2(x_1,x_2,...,x_n)=0\\
.\\
.\\
.\\
f_n(x_1,x_2,...,x_n)=0
\end{matrix} 
    \right \}(*)


La solucion de este sistema consta de un conjunto de  x_i,i=1,...,n; que simultaneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero.

Ejercicio: Exprese las dos ecuaciones no lineales

x^2+xy=10

y+3xy^2=57

con dos incognitas en forma de ecuacion (*)

\left . 
       \begin{matrix}
f(x,y)=x^2+xy-10=0    [F]\\
g(x,y)=y+3xy^2-57=0     [G]\\

\end{matrix} 
    \right \}[+]

iteracion de un punto fijo para un sistema no lineal.

Ejercicio: Determinar las raices de la ecuacion [+] con el metodo de iteracion de punto fijo. Iniciar el calculo con el valor inicial x=1.5 y=3.5 para deducir el metodo en la ecuacion [F] se despeja x y en la ecuacion [G] se despeja y.


Variante1

x_{i+1}=\frac{10-x_i^2}{y_i}

y_{i+1}=57-3x_iy_i^2


Inicia con i=0  ,  x_0=1.5  ,  y_0 = 3,5


Variante2

x_{i+1}=\sqrt{10-x_iy_i}

y_{i+1}=\sqrt{\frac{57-y_i}{3x_i}}


Desventaja del metodo de iteracion de un punto fijo, la convergencia depende de la forma que se formula la ecuacion:

Variante1: la aproximacion ya esta descompuesta.

Variante2: la aproximacion converge hacia la solucion correcta x=2 y=3.


Repaso: El metodo de Newton para una ecuacion escalar f:R->R

Objetivo: Encontrar un cero de f, es decir un x donde f(x)=0.

Deducción por seria de Taylor de primer orden.

f(x_{i+1})= f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i),(1)

donde x_i es el valor inicial y x_{i+1} es el valor en el cual la linea recta intersecta la eje x: f(x_{i+1})=0 ,(2)

Reordenar:

x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}

metodo de Newton para dos ecuaciones

u(x,y)=0

v(x,y)=0

serie de Taylor de múltiples variables

(1)

u_{i+1}=u_i+\frac{\partial u_i}{\partial x}(x_{i+1}+x_i)+\frac{\partial u_i}{\partial y}(y_{i+1}-y_i)

v_{i+1}=v_i+\frac{\partial v_i}{\partial x}(x_{i+1}+x_i)+\frac{\partial v_i}{\partial y}(y_{i+1}-y_i)

notacion: u_i= u(x_i,y_i), v_i=v(x_i,y_i)

(2)

u_{i+1}=u(x_{i+1},y_{i+1})=0

v_{i+1}=v(x_{i+1},y_{i+1})=0

\begin{array}{llll}\Delta x=x_{i+1}-x_i, \Delta y=y_{i+1}-y_i\end{array}

Reordenar

\frac{\partial u_i}{\partial x}\begin{array}{llll}\Delta x + \frac{\partial u_i}{\partial x}\Delta y=-u_i\end{array}

\frac{\partial v_i}{\partial x}\begin{array}{llll}\Delta x + \frac{\partial v_i}{\partial x}\Delta y=-v_i\end{array}


Forma matricial

\;
\begin{pmatrix}
      \frac{\partial u_i}{\partial x} & \frac{\partial u_i}{\partial y} \\
      \frac{\partial v_i}{\partial x} & \frac{\partial u_i}{\partial y} \\
      \end{pmatrix} \;
\begin{array}{llll}
\begin{pmatrix} 
      \Delta x \\
      \Delta y \\
      \end{pmatrix}
\end{array} = \;
\begin{pmatrix}
      u_i \\
      v_i \\
      \end{pmatrix}

¡Interferencia de bloqueo de anuncios detectada!


Wikia es un sitio libre de uso que hace dinero de la publicidad. Contamos con una experiencia modificada para los visitantes que utilizan el bloqueo de anuncios

Wikia no es accesible si se han hecho aún más modificaciones. Si se quita el bloqueador de anuncios personalizado, la página cargará como se esperaba.

También en FANDOM

Wiki al azar