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DESARROLLO GUIA APRENDIZAJE. EJERCICIO 4.

4. Transformacón a un modelo lineal.

Ejercicio: Dado los puntos.


 (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m}, y_{y}) (2)

se quire adjuntar la función exponencial  f(x) = ae^{bx} en el sentido de mínimos cuadrados. Para obtener una relacón lineal tomar el algoritomo, usando la regla

     ln(AB) = ln A + ln B.  


Ejercicio:Dado los puntos.

  (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m}, y_{y})  

se quiere ajustar la función exponencial  f(x) = ae^{bx + cx^2}  en el sentido de mínimos cuadrados.

a) Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

b) Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.


'DESARROLLO


 ln(y) = ln(a) + bx


Forma matricial.


 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & x_{1}  \\
      1 & x_{2}  \\
      . & .\\
      . & .  \\
      . & .             \\
      1 & x_{m} 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      ln(a)   \\
      b   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      ln(y_{1})   \\
      ln(y_{2})   \\
      .  & \\
      .  & \\
      .         \\
      ln(y_{m}   \\
    \end{pmatrix}



 A^t Ax = A^ty


 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 &   1 & ...& 1 \\
      x_{1} & x_{2}&...& x_{m} \\
        \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      ln(y_{1})   \\
      ln(y_{2}   \\
      . \\
      . \\
      .  \\
      ln(y_{m})\\  
\end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      \sum_{i=1}^{n} {\mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      ln(y_{1})   \\
      ln(y_{2}   \\
      . \\
      . \\
      ln(y_{m})\\  
\end{pmatrix}}
    \end{pmatrix}


a) Dado los puntos

 (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m} , y_{m})


Se requiere ajustar la función exponencial  f(x) = ae^{bx + cx2}   en el sentido de mínimos cuadrados.


i. Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

 ln(y) = ln(a) + bx + cx^2


ii. Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.


 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & x_{1} & x_{1}^2 \\
      1 & x_{2} & x_{2}^2 \\
      . & . &.\\
      . & . &. \\
      . & . &.            \\
      1 & x_{m} & x_{m}^2 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      ln(a)   \\
      b   \\
      c
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      ln(y_{1})   \\
      ln(y_{2})   \\
      .  & \\
      .  & \\
      .         \\
      ln(y_{m}   \\
    \end{pmatrix}


 A^t Ax = A^ty


 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & ... & 1\\
      x_{1}&x_{2}&...&x_{m}\\
      x_{1}^2&x_{2}^2&...&x_{m}^2
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
            1 & x_{1} & x_{1}^2 \\
      1 & x_{2} & x_{2}^2 \\
      . & . &.\\
      . & . &. \\
      . & . &.            \\
      1 & x_{m} & x_{m}^2 
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
     1 & 1 & ...% 1 \\
     x_{1}&x_{2}&...&x_{m}\\
     x_{1}^2&x_{2}^2&...x_{m}^2
    \end{pmatrix}
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      ln(y_{1})\\
      ln(y_{2})\\
      .\\  
      .\\
      .\\
      ln(y_{m})
  \end{pmatrix}

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