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DESARROLLO GUIA APRENDIZAJE. EJERCICIO 4.

4. Transformacón a un modelo lineal.

Ejercicio: Dado los puntos.


$ (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m}, y_{y}) $ (2)

se quire adjuntar la función exponencial $ f(x) = ae^{bx} $ en el sentido de mínimos cuadrados. Para obtener una relacón lineal tomar el algoritomo, usando la regla

    $  ln(AB) = ln A + ln B.   $


Ejercicio:Dado los puntos.

 $  (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m}, y_{y})   $

se quiere ajustar la función exponencial $ f(x) = ae^{bx + cx^2} $ en el sentido de mínimos cuadrados.

a) Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

b) Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.


'DESARROLLO


$ ln(y) = ln(a) + bx $


Forma matricial.


$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \\ . & .\\ . & . \\ . & . \\ 1 & x_{m} \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} ln(a) \\ b \\ \end{pmatrix} \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} ln(y_{1}) \\ ln(y_{2}) \\ . & \\ . & \\ . \\ ln(y_{m} \\ \end{pmatrix} $



$ A^t Ax = A^ty $


$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & ...& 1 \\ x_{1} & x_{2}&...& x_{m} \\ \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} ln(y_{1}) \\ ln(y_{2} \\ . \\ . \\ . \\ ln(y_{m})\\ \end{pmatrix} \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} {\mathbb{} \; \begin{pmatrix} ln(y_{1}) \\ ln(y_{2} \\ . \\ . \\ ln(y_{m})\\ \end{pmatrix}} \end{pmatrix} $


a) Dado los puntos

$ (x_{1} , y_{1}),...,(x_{m} , y_{m}) $


Se requiere ajustar la función exponencial $ f(x) = ae^{bx + cx2} $ en el sentido de mínimos cuadrados.


i. Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

$ ln(y) = ln(a) + bx + cx^2 $


ii. Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.


$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^2 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^2 \\ . & . &.\\ . & . &. \\ . & . &. \\ 1 & x_{m} & x_{m}^2 \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} ln(a) \\ b \\ c \end{pmatrix} \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} ln(y_{1}) \\ ln(y_{2}) \\ . & \\ . & \\ . \\ ln(y_{m} \\ \end{pmatrix} $


$ A^t Ax = A^ty $


$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ x_{1}&x_{2}&...&x_{m}\\ x_{1}^2&x_{2}^2&...&x_{m}^2 \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^2 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^2 \\ . & . &.\\ . & . &. \\ . & . &. \\ 1 & x_{m} & x_{m}^2 \end{pmatrix} \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & ...% 1 \\ x_{1}&x_{2}&...&x_{m}\\ x_{1}^2&x_{2}^2&...x_{m}^2 \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} ln(y_{1})\\ ln(y_{2})\\ .\\ .\\ .\\ ln(y_{m}) \end{pmatrix} $