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Jueves 8 de Noviembre

En este día se efectuó un control sobre Ajuste no-lineal de curvas con una función exponencial el cual no cuento con el control propiamente tal por lo cual decidí crear un blog de información importante o mejor dicho un resumen seguido por un código en matlab



El problema de la aproximación consiste en encontrar un elemento de cierto subespacio

S, de un espacio E, que se encuentra a la mínima distancia de un elemento dado x 2 E. Si

E es un espacio euclídeo y  S es un subespacio de dimensión infita, sabemos que la solución

viene dada por la proyección ortogonal de  x sobre el subespacio  S .

En este tema aplicaremos esta técnica para obtener la función, dentro de una cierta clase

de funciones, que mejor se ajusta a una nube de puntos, en el sentido de minimizar el error

cuadrático


Se desea ajustar una curva exponencial de la forma  Y= Ce^{ax}

a un conjunto de puntos { \{ \big ( X_{k}, Y_{k}      \big )  \} }_{k=1}^{N} dado de antemano

Tomando logaritmos en (2):

 Ln(y)=Ax+Ln(C)

Haciendo un cambio de variables (y de constante):

 Y = ln(y),  X = x,  B = ln(C),

se obtiene una relación lineal entre las nuevas variables X y Y:

  Y = AX + B

Ahora se calcula la recta de regresión (3) para los puntos

 \{ \big ( X_{k}, Y_{k}      \big )  \} para lo que planteamos las correspondientes ecuaciones normales de Gauss

 ( \sum^n_{k = 1} X_k{^2}) + A + ( \sum^n_{k = 1} X ) B =  \sum^n_{k = 1} X_{k} Y_{k}

 ( \sum^n_{k = 1} X_{k} ) A + NB = \sum^n_{k = 1} Y_{k}

que constituyen un sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas A y C. Una vez calculados A y B, hallamos el parámetro C de (2):  C = e^B.

Se debe hallar el mínimo de la función

 E(A,C) = \sum^n_{k = 1} ( Ce^{ak_{x}} - Y_{k})^2

Para ello, hallamos las derivadas parciales

 \frac{\partial E} {\partial A}  = 2 \sum^n_{k = 1} ( Ce^{ak_{x}} - Y_{k} ) CX_{k}e^{AX_{k}}

 \frac{\partial E} {\partial C}  = 2 \sum^n_{k = 1} ( Ce^{ak_{x}} - Y_{k} ) e^{AX_{k}}

Igualando a cero obtenemos las ecuaciones normales

 \sum^n_{k = 1} X_{k}e^{2Ax_{k}}  -  \sum^n_{k = 1}x_{k} y_{k} e^{ax_{k}} = 0

 \sum^n_{k = 1}e^{2Ax_{k}} - \sum^n_{k = 1}y_{k}e^{Ax_k} = 0

que es un sistema de ecuaciones no lineales para las incógnitas A y C.

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