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Minimos cuadrados lineales en general


Modelo Lineal General: Donde y = a_0z_0 ,a_1z_1 ,a_2z_2...a_nz_m +e

donde  z_0,z_1,z_m son m+1 funciones diferentes


Ejemplo :

Regresion Multiple :

     z_0 = 1 
     z_1 = x_1 
     z_2 = x_2 
     z_n = x_n


Regresión Polinomial :


  z_0 = 1 
     z_1 = x
     z_2 = a^2 
     z_n = a^n


Z puede ser senoidales : y= a_0 +a_1cos (wt) +a_2sen (wt)


wt=variable independiente

Se expresa en la notación matricial como :


y = z * a +e

Donde: \mathbb{Z} = \;
   \begin{pmatrix}
      z_{(1,1)} & z_{(1,2)} & z_{(1,m)}  \\
      z_{(2,1)} & z_{(2,2)} & z_{(2,m)}  \\
      z_{(3,1)} & z_{(3,2)} & z_{(3,m)}  \\
      z_{(4,1)} & z_{(4,2)} & z_{(4,m)}  \\
      z_{(n,1)} & z_{(n,2)} & z_{(n,m)} 
   \end{pmatrix}


Es una matriz con los valores calculados de las funciones z en los valores medidios de las variables independientes.

m: numero de variables en el modelo. \\ n:numero de datos.


 Contiene valores observados de la variable dependiente:

\mathbb{Y} = \;
   \begin{pmatrix}
      y_{(1)}   \\
      y_{(2)}   \\                         
      y_{(n)} 
   \end{pmatrix}

Coeficiente desconocido.:

\mathbb{a} = \;
   \begin{pmatrix} 
      a_{(1)} \\                              
      a_{(2)} \\
      a_{(n)}  
   \end{pmatrix}


Contiene los residuos.:

\mathbb{e} = \;
   \begin{pmatrix} 
      e_{(1)} \\                              
      e_{(2)} \\
      e_{(n)}  
   \end{pmatrix}



La suma de cuadrado de los residuos


S_i = ( \sum_{i=1}^n y_i - \sum_{y=0}^m a_j z_ij )^2

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