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Prueba Test

Linealización

Dada una función:

$ f(x)=x^3-5 $

a.-Determinar una función $ l(x) $ que corresponde a la tangente del grafico $ (x,f(x)) $ por un punto $ (x_0,f(x_0)). $

b.- Fijando $ x_0=1 $.Determinar el cero de la función $ l(x) $

Solución

Dado $ f(x) $ no-lineal

vamos a linealizar la función con el metodo de Newton

a.-$ l(x)=f(x_i)+f(x_i)(x-x_i) $

la función cumple que $ f(x_i)=l(x_i) $ y $ f'(x_i)=l'(x_i) $

b.-buscamos el cero de la función $ l(x)=0 $

$ l(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x_i+1-x_i)=0 $

$ f'(x_i)(x_i+1-x_i)=-f(x_i $)

$ x_i+1=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} $

por ejemplo: $ x_0=1 $

$ l(x)=x_0^3+3x_0^2(x-3x_0^3-5) $

$ =-2x_0^3+3x_0^2 \cdot x-5 $

$ l(x)=0 $

$ =-2x_0^3+3x_0^2 \cdot x-5=0 $

$ x=\frac{2x_0^3+5}{3x_0^2} $

Otro ajuste de curvas

Dado los puntos $ (x_1,y_1),...,(x_m,y_m) $ , $ m\in\mathbb{} $$ {1,2,...} $ se quiere ajustar la función $ f(x)=\frac{1}{b}+cx^3 $ en el sentido de mínimos cuadrados.

a.- Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.

Solución

$ x1=1 $

$ f(x1)=\frac{1}{b}+cx1^3 $

$ =\frac{1}{b}+c $

$ x2=2 $

$ f(x2)=\frac{1}{b}+cx2^3 $

$ =\frac{1}{b}+8c $

$ x3=3 $

$ f(x3)=\frac{1}{b}+cx3^3 $

$ =\frac{1}{b}+27c $

$ x4=4 $

$ f(x4)=\frac{1}{b}+cx4^3 $

$ =\frac{1}{b}+64c $

las matrices que se generan de las ecuaciones son:

$ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 8\\ 1 & 27\\ 1 & 64\\ . & .\\ . & .\\ . & .\\ 1 & X_m^3\\ \end{pmatrix}}_{{X}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} b\\ c\\ \end{pmatrix}}_{{A}} $$ = \underbrace{\begin{pmatrix} y1\\ y2\\ y3\\ .\\ .\\ .\\ y_m\\ \end{pmatrix}}_{{Y}} $

Para $ X_i $general tenemos:

$ X = \begin{pmatrix} 1 & x_1^3\\ 1 & x_2^3\\ 1 & x_3^3\\ 1 & x_4^3\\ . & .\\ . & .\\ . & .\\ 1 & X_m^3\\ \end{pmatrix} $

Ahora calcularemos las ecuaciones normales $ X^t\cdot X\cdot A= X^t\cdot Y $

$ X^t\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & . & . & . & X_m^3\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 8\\ 1 & 27\\ 1 & 64\\ . & .\\ . & .\\ . & .\\ 1 & X_m^3\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b\\ c\\ \end{pmatrix} $

$ = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} {1} & \sum_{i=1}^{n} {x^3}\\ \sum_{i=1}^{n} {x^3} & \sum_{i=1}^{n} {x^6}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b\\ c\\ \end{pmatrix} $

$ X^t \cdot Y =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & . & . & . & X_m^3\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y1\\ y2\\ y3\\ .\\ .\\ .\\ y_m\\ \end{pmatrix} $

$ = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} {y_i}\\ \sum_{i=1}^{n} {x^3\cdot y_i}\\ \end{pmatrix} $

Resumiendo tenemos que la ecuacion normal es:

$ \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} {1} & \sum_{i=1}^{n} {x^3}\\ \sum_{i=1}^{n} {x^3} & \sum_{i=1}^{n} {x^6}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b\\ c\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n} {y_i}\\ \sum_{i=1}^{n} {x^3\cdot y_i}\\ \end{pmatrix} $