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Prueba Test

Linealización

Dada una función:

f(x)=x^3-5

a.-Determinar una función  l(x) que corresponde a la tangente del grafico  (x,f(x)) por un punto  (x_0,f(x_0)).

b.- Fijando  x_0=1 .Determinar el cero de la función  l(x)

Solución

Dado  f(x) no-lineal

vamos a linealizar la función con el metodo de Newton

a.- l(x)=f(x_i)+f(x_i)(x-x_i)

la función cumple que  f(x_i)=l(x_i) y  f'(x_i)=l'(x_i)

b.-buscamos el cero de la función  l(x)=0

l(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x_i+1-x_i)=0

f'(x_i)(x_i+1-x_i)=-f(x_i)

x_i+1=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}

por ejemplo:  x_0=1

l(x)=x_0^3+3x_0^2(x-3x_0^3-5)

=-2x_0^3+3x_0^2 \cdot x-5

l(x)=0

=-2x_0^3+3x_0^2 \cdot x-5=0

x=\frac{2x_0^3+5}{3x_0^2}

Otro ajuste de curvas

Dado los puntos  (x_1,y_1),...,(x_m,y_m) , m\in\mathbb{}   {1,2,...} se quiere ajustar la función  f(x)=\frac{1}{b}+cx^3 en el sentido de mínimos cuadrados.

a.- Hacer sustituciones apropiadas para obtener una relación lineal.

Calcular las matrices que surgen en la ecuación normal.

Solución

x1=1

 f(x1)=\frac{1}{b}+cx1^3

=\frac{1}{b}+c

x2=2

 f(x2)=\frac{1}{b}+cx2^3

=\frac{1}{b}+8c

x3=3

 f(x3)=\frac{1}{b}+cx3^3

=\frac{1}{b}+27c

x4=4

 f(x4)=\frac{1}{b}+cx4^3

=\frac{1}{b}+64c

las matrices que se generan de las ecuaciones son:

\underbrace{\begin{pmatrix}
 1 & 1\\
 1 & 8\\
 1 & 27\\
 1 & 64\\
 . & .\\
 . & .\\
 . & .\\
 1 & X_m^3\\
\end{pmatrix}}_{{X}}
\cdot 
\underbrace{\begin{pmatrix}
 b\\
 c\\
\end{pmatrix}}_{{A}} = \underbrace{\begin{pmatrix}
  y1\\
  y2\\
  y3\\
  .\\
  .\\
  .\\
  y_m\\
\end{pmatrix}}_{{Y}}

Para  X_i general tenemos:

X = \begin{pmatrix}
 1 & x_1^3\\
 1 & x_2^3\\
 1 & x_3^3\\
 1 & x_4^3\\
 . & .\\
 . & .\\
 . & .\\
 1 & X_m^3\\
\end{pmatrix}

Ahora calcularemos las ecuaciones normales  X^t\cdot X\cdot A= X^t\cdot Y

X^t\cdot X = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\
 1 & 8 & 27 & 64 & . & . & . & X_m^3\\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
 1 & 1\\
 1 & 8\\
 1 & 27\\
 1 & 64\\
 . & .\\
 . & .\\
 . & .\\
 1 & X_m^3\\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
 b\\
 c\\
\end{pmatrix}

=  \begin{pmatrix}
 \sum_{i=1}^{n} {1} & \sum_{i=1}^{n} {x^3}\\
 \sum_{i=1}^{n} {x^3} & \sum_{i=1}^{n} {x^6}\\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
 b\\
 c\\
\end{pmatrix}

X^t \cdot Y =\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\
 1 & 8 & 27 & 64 & . & . & . & X_m^3\\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
  y1\\
  y2\\
  y3\\
  .\\
  .\\
  .\\
  y_m\\
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 \sum_{i=1}^{n} {y_i}\\
 \sum_{i=1}^{n} {x^3\cdot y_i}\\
\end{pmatrix}

Resumiendo tenemos que la ecuacion normal es:

\begin{pmatrix}
 \sum_{i=1}^{n} {1} & \sum_{i=1}^{n} {x^3}\\
 \sum_{i=1}^{n} {x^3} & \sum_{i=1}^{n} {x^6}\\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
 b\\
 c\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \sum_{i=1}^{n} {y_i}\\
 \sum_{i=1}^{n} {x^3\cdot y_i}\\
\end{pmatrix}

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