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Método de Bisección y método de NewtonEditar

  • Ejemplo:  f(x) = x^2 - 2 = 0, desarrollar 3 pasos con los métodos de bisección y de Newton, iteraciones hasta  | x_u - x_l | < \varepsilon = 0.0001


ITERACIÓN 1:

1. Definir puntos arbitrarios de X_l , X_u que cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   X_l=1
   X_u=2
   Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
          f(1)*f(2) < 0 = (1-2)*(4-2) < 0  Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

     X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+2}{2} = 1.5


3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

    f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2)
                  = (1-2)(2.25 -2)
                  = (- 0.25) < 0               (caso a) 
     .: nuevo X_l  <--  antigio X_l
        nuevo X_u  <--  X_r
   Nuevo intervalo [X_l,X_u] = [1,1.5]


ITERACIÓN 2:

1. Verificar que [1,1.5]cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
          f(1)*f(2) < 0 = (1-2)*(2,25-2) = -0.25 < 0 Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

     X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+1.5}{2} = 1.25


3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

    f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2)
                  = (1-2)(1.5625 -2)
                  = (0.4375) > 0             (caso b) 
     .: nuevo X_l  <--  X_r
        nuevo X_u  <--  antiguo X_u
        Nuevo intervalo [1.25,1.5]


ITERACIÓN 3:

1. Verificar que [1.25,1.5]cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
     f(1)*f(2) < 0 = (1.5625-2)*(2.25-2) = -0.109375 < 0 Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

     X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.25+1.5}{2} = 1.375


3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

    f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2)
                  = (1.5625-2)(1.890625 -2)
                  = 0.04785 > 0              (caso b) 
     .: nuevo X_l  <--  X_r
        nuevo X_u  <--  antiguo X_u
        Nuevo intervalo [1.375,1.5]


Terminar cuando |X_u-X_l| < \varepsilon

 Con \varepsilon fijado, por ejemplo \varepsilon = 0.0001



  • Tarea: Dado  f(x) = x^2 - 3

ITERACIÓN 1:

1. Definir puntos arbitrarios de X_l , X_u que cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   X_l=1
   X_u=2
      Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
          f(1)*f(2) < 0 = (1-3)*(4-3) = -2 < 0  Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

      X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+2}{2} = 1.5

3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

      f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3)(X_r^2 - 3)
                  = (1-3)(2.25-3)
                  = 1.5> 0              (caso b) 
     .: nuevo X_l  <--  X_r
        nuevo X_u  <--  antiguo X_u
        Nuevo intervalo [1.5,2]


ITERACIÓN 2:

1. Verificar que [1.5,2]cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
          f(1)*f(2) < 0 = (2.25-3)*(4-3) = -0.75 < 0 Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

     X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.5+2}{2} = 1.75


3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

    f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3 )(X_r^2 - 3)
                  = (2.25 - 3)(3.0625 - 2)
                  = (-0.796875) < 0           (caso a) 
     .: nuevo X_l  <--  antiguo X_l
        nuevo X_u  <--  X_r
        Nuevo intervalo [1.5,1.75]


ITERACIÓN 3:

1. Verificar que [1.5,1.75]cumplan con Invariante f(X_l)*f(X_u)<0

   Cumple con f(X_l)*f(X_u)<0  ? 
   f(1)*f(2) < 0 = (2.25-3)*(3.0625-3) = -0.109375 < 0 Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz X_r

     X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.5+1.75}{2} = 1.625


3. Calcular f(X_l)*f(X_r)

    f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3)(X_r^2 - 3)
                  = (2.25-3)(3.0625-3)
                  = -0.046875 < 0              (caso a) 
     .: nuevo X_l  <--  antiguo X_l
        nuevo X_u  <--  X_r
        Nuevo intervalo evaluar [1.5,1.625]


Terminar cuando |X_u-X_l| < \varepsilon

 Con \varepsilon fijado, por ejemplo \varepsilon = 0.0001

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