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Método de Bisección y método de NewtonEditar

  • Ejemplo: $ f(x) = x^2 - 2 = 0 $, desarrollar 3 pasos con los métodos de bisección y de Newton, iteraciones hasta $ | x_u - x_l | < \varepsilon = 0.0001 $


ITERACIÓN 1:

1. Definir puntos arbitrarios de $ X_l , X_u $ que cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   $ X_l=1 $
   $ X_u=2 $
   Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
          $ f(1)*f(2) < 0 = (1-2)*(4-2) < 0 $  Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

     $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+2}{2} = 1.5 $


3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

    $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2) $
                  $ = (1-2)(2.25 -2) $
                  $ = (- 0.25) < 0 $               (caso a) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  antigio X_l $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  X_r $
   Nuevo intervalo $ [X_l,X_u] = [1,1.5] $


ITERACIÓN 2:

1. Verificar que $ [1,1.5] $cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
          $ f(1)*f(2) < 0 = (1-2)*(2,25-2) = -0.25 < 0 $ Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

     $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+1.5}{2} = 1.25 $


3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

    $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2) $
                  $ = (1-2)(1.5625 -2) $
                  $ = (0.4375) > 0 $             (caso b) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  X_r $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  antiguo X_u $
        Nuevo intervalo $ [1.25,1.5] $


ITERACIÓN 3:

1. Verificar que $ [1.25,1.5] $cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
     $ f(1)*f(2) < 0 = (1.5625-2)*(2.25-2) = -0.109375 < 0 $ Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

     $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.25+1.5}{2} = 1.375 $


3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

    $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 2 )(X_r^2 - 2) $
                  $ = (1.5625-2)(1.890625 -2) $
                  $ = 0.04785 > 0 $              (caso b) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  X_r $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  antiguo X_u $
        Nuevo intervalo $ [1.375,1.5] $


Terminar cuando $ |X_u-X_l| < \varepsilon $

 Con $ \varepsilon $ fijado, por ejemplo $ \varepsilon = 0.0001 $



  • Tarea: Dado $ f(x) = x^2 - 3 $

ITERACIÓN 1:

1. Definir puntos arbitrarios de $ X_l , X_u $ que cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   $ X_l=1 $
   $ X_u=2 $
      Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
          $ f(1)*f(2) < 0 = (1-3)*(4-3) = -2 < 0 $  Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

      $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1+2}{2} = 1.5 $

3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

      $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3)(X_r^2 - 3) $
                  $ = (1-3)(2.25-3) $
                  $ = 1.5> 0 $              (caso b) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  X_r $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  antiguo X_u $
        Nuevo intervalo $ [1.5,2] $


ITERACIÓN 2:

1. Verificar que $ [1.5,2] $cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
          $ f(1)*f(2) < 0 = (2.25-3)*(4-3) = -0.75 < 0 $ Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

     $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.5+2}{2} = 1.75 $


3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

    $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3 )(X_r^2 - 3) $
                  $ = (2.25 - 3)(3.0625 - 2) $
                  $ = (-0.796875) < 0 $           (caso a) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  antiguo X_l $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  X_r $
        Nuevo intervalo $ [1.5,1.75] $


ITERACIÓN 3:

1. Verificar que $ [1.5,1.75] $cumplan con Invariante $ f(X_l)*f(X_u)<0 $

   Cumple con $ f(X_l)*f(X_u)<0  $ ? 
   $ f(1)*f(2) < 0 = (2.25-3)*(3.0625-3) = -0.109375 < 0 $ Cumple !

2. Calcular una aproximación de la raiz $ X_r $

     $ X_r = \frac{X_u + X_l}{2} = \frac{1.5+1.75}{2} = 1.625 $


3. Calcular $ f(X_l)*f(X_r) $

    $ f(X_l)*f(X_r) = (X_l^2 - 3)(X_r^2 - 3) $
                  $ = (2.25-3)(3.0625-3) $
                  $ = -0.046875 < 0 $              (caso a) 
     .: $ nuevo X_l  $ <-- $  antiguo X_l $
        $ nuevo X_u  $ <-- $  X_r $
        Nuevo intervalo evaluar $ [1.5,1.625] $


Terminar cuando $ |X_u-X_l| < \varepsilon $

 Con $ \varepsilon $ fijado, por ejemplo $ \varepsilon = 0.0001 $