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Modelo no-lineal.

A.-Dado un modelo en la forma de la funcion:

g_i=g_i(x^*,y^*,z^*,t^*,s)=(x^*,x_i)^2+(y^*,y_i)^2+(z^*,z_i)^2+s^2(t^*,t_i)^2

con los datos(x_i,y_i,z_i,t_i),i=1,2,...,n.

Formular un algoritmo en código MATLAB que encuentra valores x^*,y^*,z^*,t^*,s que minimizan la sumatoria:

S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2

B.-Buscar y deducir un modelo propio y datos propios para el ajuste de curvas no-lineales.

Ejemplo datos sismicos: sismicas(x_i,y_i,z_i),i=1,2,...,n.

tiempo cuando llegan las señales:t_i.

Datos desconocidos:

Posición del origen de un sismo(x^*,y^*,z^*).

tiempo cuando ocurrio el sismo:t^*.

velocidad(Promedio)de onda sismica s.

Simplificación en el modelo:Que se asume una "velocidad promedio"de onda sismica.

En realidad podria ser que hay variaciones en la velocidad, dado que hay variaciones en la composición de las rocas .

La velocidad de onda sisimica depende del material de las rocas.

Modelo físico:"velocidad"="distancia"/"duración", o sea

"distancia"="velocidad"\cdot"duración"

Denominar, identificar variables:

velocidad de la onda sismica: s.

duración de la propagación :(t_i,t^*)

distancia:\sqrt{(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2}

modelo matematico:

\sqrt{(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2}=s(t_i,t^*)

=(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2=s^2(t_i,t^*)^2 =(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2-s^2(t_i,t^*)^2=0

se entiende que(x_i,x^*)^2=(x^*,x_i)^2.

g_i=(x^*,x_i)^2+(y^*,y_i)^2+(z^*,z_i)^2+s^2(t^*,t_i)^2

Transformar en una expresión estandar como la funcióng_i,para poder aplicar cierta metodologia de solución , como el método de Newton.

¿Cuales son los pasos para obtener la función g_i?

¿Qué se logra al minimizar la función S?

¿De que variables depende la función S?

Minimizar la función:

S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2

min_x^*,_y^*,_z^*,_t^*,_s  S(x^*,y^*,z^*,t^*,s)

para linealizar la función necesitamos encontrar los ceros de la función donde introduciremos F(x^*,y^*,z^*,t^*,s) con p_i=x^*,y^*,z^*,t^*,s entonces asi optendremos la función:

F(P_i)=S(x^*,y^*,z^*,t^*,s).

\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*}=2 F1\cdot\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*}

\frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*}=2 F2\cdot\frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*}

\frac{\partial F3(P_i)}{\partial z^*}=2 F3\cdot\frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*}

\frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*}=2 F4\cdot\frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*}

\frac{\partial F5(P_i)}{\partial s}=2 F5\cdot\frac{\partial F5(P_i)}{\partial x^*}

J(P_i)\begin{pmatrix}
  \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial z^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F1(P_i)}{\partial s}\\
  \frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} & 7\frac{\partial F2(P_i)}{\partial z^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F2(P_i)}{\partial s}\\
  \frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial z^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F3(P_i)}{\partial s}\\
  \frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial z^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial s}\\
\frac{\partial F5(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial y^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial z^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial s}\\
\end{pmatrix}

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