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Modelo no-lineal.

A.-Dado un modelo en la forma de la funcion:

$ g_i=g_i(x^*,y^*,z^*,t^*,s)=(x^*,x_i)^2+(y^*,y_i)^2+(z^*,z_i)^2+s^2(t^*,t_i)^2 $

con los datos$ (x_i,y_i,z_i,t_i),i=1,2,...,n. $

Formular un algoritmo en código MATLAB que encuentra valores$ x^*,y^*,z^*,t^*,s $ que minimizan la sumatoria:

$ S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2 $

B.-Buscar y deducir un modelo propio y datos propios para el ajuste de curvas no-lineales.

Ejemplo datos sismicos: sismicas$ (x_i,y_i,z_i),i=1,2,...,n. $

tiempo cuando llegan las señales:$ t_i $.

Datos desconocidos:

Posición del origen de un sismo$ (x^*,y^*,z^*). $

tiempo cuando ocurrio el sismo:$ t^* $.

velocidad(Promedio)de onda sismica $ s $.

Simplificación en el modelo:Que se asume una "velocidad promedio"de onda sismica.

En realidad podria ser que hay variaciones en la velocidad, dado que hay variaciones en la composición de las rocas .

La velocidad de onda sisimica depende del material de las rocas.

Modelo físico:"velocidad"="distancia"/"duración", o sea

"distancia"="velocidad"$ \cdot $"duración"

Denominar, identificar variables:

velocidad de la onda sismica: $ s $.

duración de la propagación :$ (t_i,t^*) $

distancia:$ \sqrt{(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2} $

modelo matematico:

$ \sqrt{(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2}=s(t_i,t^*) $

$ =(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2=s^2(t_i,t^*)^2 $ $ =(x_i,x^*)^2+(z_i,z^*)^2+(t_i,t^*)^2-s^2(t_i,t^*)^2=0 $

se entiende que$ (x_i,x^*)^2=(x^*,x_i)^2 $.

$ g_i=(x^*,x_i)^2+(y^*,y_i)^2+(z^*,z_i)^2+s^2(t^*,t_i)^2 $

Transformar en una expresión estandar como la función$ g_i $,para poder aplicar cierta metodologia de solución , como el método de Newton.

¿Cuales son los pasos para obtener la función $ g_i $?

¿Qué se logra al minimizar la función $ S $?

¿De que variables depende la función $ S $?

Minimizar la función:

$ S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2 $

$ min_x^*,_y^*,_z^*,_t^*,_s S(x^*,y^*,z^*,t^*,s) $

para linealizar la función necesitamos encontrar los ceros de la función donde introduciremos $ F(x^*,y^*,z^*,t^*,s) $ con $ p_i=x^*,y^*,z^*,t^*,s $ entonces asi optendremos la función:

$ F(P_i)=S(x^*,y^*,z^*,t^*,s). $

$ \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} $$ =2 F1\cdot\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} $

$ \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} $$ =2 F2\cdot\frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*} $

$ \frac{\partial F3(P_i)}{\partial z^*} $$ =2 F3\cdot\frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*} $

$ \frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*} $$ =2 F4\cdot\frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*} $

$ \frac{\partial F5(P_i)}{\partial s} $$ =2 F5\cdot\frac{\partial F5(P_i)}{\partial x^*} $

$ J(P_i)\begin{pmatrix} \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial z^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F1(P_i)}{\partial s}\\ \frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} & 7\frac{\partial F2(P_i)}{\partial z^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F2(P_i)}{\partial s}\\ \frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial z^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F3(P_i)}{\partial s}\\ \frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial z^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial s}\\ \frac{\partial F5(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial y^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial z^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial t^*}&\frac{\partial F5(P_i)}{\partial s}\\ \end{pmatrix} $