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Ecuaciones Normales: Editar

En el siguiente ejemplo mostraremos como deducir la ecuación normal de forma general para cada uno de los datos de observación obtenidos con anterioridad.

i=1 : y_{(1)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(11)} + A_{(2)} * X_{(21)} i=2 : y_{(2)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(12)} + A_{(2)} * X_{(22)} i=3 : y_{(3)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(13)} + A_{(2)} * X_{(23)} i=4 : y_{(4)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(14)} + A_{(2)} * X_{(24)}

  :           :          :        :          :                   
  :           :          :        :          :

i=n : y_{(n)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(1n)} + A_{(2)} * X_{(2n)}

En total tenemos n ecuaciones, pero m = 3 parámetros, osea que tenemos más ecuaciones que parámetros, en este caso estamos frente a un "sistema sobredeterminado" y no cuenta con solución, pero con una aproximación en el sentido de los mínimos cuadrados.

En el siguiente paso reformularemos el sistema sobredeterminado en forma matricial de la siguiente forma:

 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)}  \\
      1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)}  \\
      1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)}  \\
      1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)}  \\
      :               \\
      1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{} * \;
   \begin{pmatrix}
      A_{(0)}   \\
      A_{(1)}   \\
      A_{(2)}   \\
    \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      Y_{(1)}   \\
      Y_{(2)}   \\
      Y_{(3)}   \\
      Y_{(4)}   \\
      :         \\
      Y_{(n)}   \\
    \end{pmatrix}

Una vez reformulado el sistema sobredeterminado en forma matricial X * A = Y, podemos deducir de forma general la "ecuación normal" correspondiente:

X^t * X * A = X^t * Y \; \; \; \; \; con \; X^t = Matriz \; transpuesta

Ejemplo: para formar la "ecuación normal" tomaremos como ejemplo el sistema sobredeterminado en forma matricial anterior, el cual nos queda de la siguiente forma:

Teniendo en cuenta que ya conocemos las matrices:  \mathbb{X} = \;
   \begin{pmatrix}
      1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)}  \\
      1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)}  \\
      1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)}  \\
      1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)}  \\
      :               \\
      1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} 
   \end{pmatrix}
\; \; \; \;
  \mathbb{A} = \;
   \begin{pmatrix}
      A_{(0)}   \\
      A_{(1)}   \\
      A_{(2)}   \\
    \end{pmatrix}
\; \; \; \;
  \mathbb{Y} = \;
   \begin{pmatrix}
      Y_{(1)}   \\
      Y_{(2)}   \\
      Y_{(3)}   \\
      Y_{(4)}   \\
      :         \\
      Y_{(n)}   \\
    \end{pmatrix}

Podemos trabajar (si lo deseamos) de forma separada para formar la "ecuación normal" de la siguiente forma: Como ya conocemos X nos queda formar X Transpuesta ( X^t )

X^t  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & .... & 1  \\
      X_{(1,1)} & X_{(1,2)} & X_{(1,3)} & X_{(1,4)} & .... & X_{(1,n)} \\
      X_{(2,1)} & X_{(2,2)} & X_{(2,3)} & X_{(2,4)} & .... & X_{(2,n)} \\
   \end{pmatrix}

Ahora que tenemos tanto  X \; como \; X^t podemos multiplicar ambas matrices para obtener X * X^t, la cual nos quedaría como:

 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)}  \\
      1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)}  \\
      1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)}  \\
      1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)}  \\
      :               \\
      1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} 
   \end{pmatrix}
 \mathbb{} * \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & .... & 1  \\
      X_{(1,1)} & X_{(1,2)} & X_{(1,3)} & X_{(1,4)} & .... & X_{(1,n)} \\
      X_{(2,1)} & X_{(2,2)} & X_{(2,3)} & X_{(2,4)} & .... & X_{(2,n)} \\
   \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      \sum^n_{i = 1} i & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(2i)}  \\
      \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X^2_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} X_{(2i)}\\
      \sum^n_{i = 1} X_{(2i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} X_{(2i)} & \sum^n_{i = 1} X^2_{(2i)}  \\
   \end{pmatrix}

de esta manera formamos X*X^t para formar la primera parte de la ecuación normal debemos volver a multiplicar por la matriz A y por ultimo debemos multiplicar X^t * Y

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