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Ecuaciones Normales: Editar

En el siguiente ejemplo mostraremos como deducir la ecuación normal de forma general para cada uno de los datos de observación obtenidos con anterioridad.

$ i=1 : y_{(1)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(11)} + A_{(2)} * X_{(21)} $ $ i=2 : y_{(2)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(12)} + A_{(2)} * X_{(22)} $ $ i=3 : y_{(3)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(13)} + A_{(2)} * X_{(23)} $ $ i=4 : y_{(4)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(14)} + A_{(2)} * X_{(24)} $

  :           :          :        :          :                   
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$ i=n : y_{(n)} = A_{(0)} + A_{(1)} * X_{(1n)} + A_{(2)} * X_{(2n)} $

En total tenemos n ecuaciones, pero m = 3 parámetros, osea que tenemos más ecuaciones que parámetros, en este caso estamos frente a un "sistema sobredeterminado" y no cuenta con solución, pero con una aproximación en el sentido de los mínimos cuadrados.

En el siguiente paso reformularemos el sistema sobredeterminado en forma matricial de la siguiente forma:

$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)} \\ 1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)} \\ 1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)} \\ 1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)} \\  : \\ 1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} \end{pmatrix} \mathbb{} * \; \begin{pmatrix} A_{(0)} \\ A_{(1)} \\ A_{(2)} \\ \end{pmatrix} \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} Y_{(1)} \\ Y_{(2)} \\ Y_{(3)} \\ Y_{(4)} \\  : \\ Y_{(n)} \\ \end{pmatrix} $

Una vez reformulado el sistema sobredeterminado en forma matricial X * A = Y, podemos deducir de forma general la "ecuación normal" correspondiente:

$ X^t * X * A = X^t * Y \; \; \; \; \; con \; X^t = Matriz \; transpuesta $

Ejemplo: para formar la "ecuación normal" tomaremos como ejemplo el sistema sobredeterminado en forma matricial anterior, el cual nos queda de la siguiente forma:

Teniendo en cuenta que ya conocemos las matrices: $ \mathbb{X} = \; \begin{pmatrix} 1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)} \\ 1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)} \\ 1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)} \\ 1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)} \\  : \\ 1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} \end{pmatrix} \; \; \; \; \mathbb{A} = \; \begin{pmatrix} A_{(0)} \\ A_{(1)} \\ A_{(2)} \\ \end{pmatrix} \; \; \; \; \mathbb{Y} = \; \begin{pmatrix} Y_{(1)} \\ Y_{(2)} \\ Y_{(3)} \\ Y_{(4)} \\  : \\ Y_{(n)} \\ \end{pmatrix} $

Podemos trabajar (si lo deseamos) de forma separada para formar la "ecuación normal" de la siguiente forma: Como ya conocemos X nos queda formar X Transpuesta $ ( X^t ) $

$ X^t $ $ \mathbb{} = \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & .... & 1 \\ X_{(1,1)} & X_{(1,2)} & X_{(1,3)} & X_{(1,4)} & .... & X_{(1,n)} \\ X_{(2,1)} & X_{(2,2)} & X_{(2,3)} & X_{(2,4)} & .... & X_{(2,n)} \\ \end{pmatrix} $

Ahora que tenemos tanto $ X \; como \; X^t $ podemos multiplicar ambas matrices para obtener $ X * X^t $, la cual nos quedaría como:

$ \mathbb{} \; \begin{pmatrix} 1 & X_{(1,1)} & X_{(2,1)} \\ 1 & X_{(1,2)} & X_{(2,2)} \\ 1 & X_{(1,3)} & X_{(2,3)} \\ 1 & X_{(1,4)} & X_{(2,4)} \\  : \\ 1 & X_{(1,n)} & X_{(2,n)} \end{pmatrix} \mathbb{} * \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & .... & 1 \\ X_{(1,1)} & X_{(1,2)} & X_{(1,3)} & X_{(1,4)} & .... & X_{(1,n)} \\ X_{(2,1)} & X_{(2,2)} & X_{(2,3)} & X_{(2,4)} & .... & X_{(2,n)} \\ \end{pmatrix} \mathbb{} \; \begin{pmatrix} \sum^n_{i = 1} i & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(2i)} \\ \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X^2_{(1i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} X_{(2i)}\\ \sum^n_{i = 1} X_{(2i)} & \sum^n_{i = 1} X_{(1i)} X_{(2i)} & \sum^n_{i = 1} X^2_{(2i)} \\ \end{pmatrix} $

de esta manera formamos $ X*X^t $ para formar la primera parte de la ecuación normal debemos volver a multiplicar por la matriz A y por ultimo debemos multiplicar $ X^t * Y $