FANDOM


Integración númerica con regla de Simpson.

$ \gamma = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \int_{a}^{b} f_2(x) \, dx $,

donde la función $ f(x) $ está aproximada por la función cuadrática

$ f_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0) + \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1) + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2) $

con

$ x_0=a, x_1= \frac {a+b}{2}, x_2=b $


EjercicioEditar

Mostrar que:

  • $ f_2(x_0)=f(x_0) $
  • $ f_2(x_1)=f(x_1) $
  • $ f_2(x_2)=f(x_2) $
  • Que $ f_2 $ es una función cuadrática, es decir de la forma $ f_2(x)=Ax^2+Bx+C $, que tiene la característica que $ f_2^m(x)=0 $
  • Calcular $ \int_{a}^{b}f_2(x)\, dx $ con $ x_0=0, x_1=1/2, x_2=1 $


  • Con $ x=x_0 $

$ f_2(x_0)={\cancelto 1\frac{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)} + {\cancel\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)} + {\cancel\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)} $

$ \therefore f_2(x_0)=f(x_0) $


  • Con $ x=x_1 $

$ f_2(x_1)={\cancel \frac{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}f(x_0)} + {\cancelto 1 \frac{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)} + {\cancel\frac{(x_1-x_0)(x_1-x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_1)}f(x_2)} $

$ \therefore f_2(x_1)=f(x_1) $


  • Con $ x=x_2 $

$ f_2(x_2)={\cancel \frac{(x_2-x_1)(x_2-x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_2)}f(x_0)} + {\cancel \frac{(x_2-x_0)(x_2-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_2)}f(x_1)} + {\cancelto 1\frac{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)} $

$ \therefore f_2(x_1)=f(x_1) $