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Integración númerica con regla de Simpson.

 \gamma = \int_{a}^{b}  f(x) \, dx \approx \int_{a}^{b}  f_2(x) \, dx ,

donde la función f(x) está aproximada por la función cuadrática

f_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0) + \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1) + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)

con

x_0=a, x_1= \frac {a+b}{2}, x_2=b


EjercicioEditar

Mostrar que:

  • f_2(x_0)=f(x_0)
  • f_2(x_1)=f(x_1)
  • f_2(x_2)=f(x_2)
  • Que f_2 es una función cuadrática, es decir de la forma f_2(x)=Ax^2+Bx+C, que tiene la característica que f_2^m(x)=0
  • Calcular \int_{a}^{b}f_2(x)\, dx con  x_0=0, x_1=1/2, x_2=1


  • Con x=x_0

f_2(x_0)={\cancelto 1\frac{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)} + {\cancel\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)} + {\cancel\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)}

\therefore f_2(x_0)=f(x_0)


  • Con x=x_1

f_2(x_1)={\cancel \frac{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}{(x_1-x_1)(x_1-x_2)}f(x_0)} + {\cancelto 1 \frac{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)} + {\cancel\frac{(x_1-x_0)(x_1-x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_1)}f(x_2)}

\therefore f_2(x_1)=f(x_1)


  • Con x=x_2

f_2(x_2)={\cancel \frac{(x_2-x_1)(x_2-x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_2)}f(x_0)} + {\cancel \frac{(x_2-x_0)(x_2-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_2)}f(x_1)} + {\cancelto 1\frac{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)}

\therefore f_2(x_1)=f(x_1)

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