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Desarrollo guía de aprendizaje.Editar

Lunes 3 de septiembre se trabaja en conjunto con el ayudante en el desarrollo de la guía de aprendizaje.


Ajuste de curvas: Unos variantes

Ajustar

1. una función lineal.

2. una función cuadratica. 3. una funcion cubica

al conjunto de valores medidos de la siguientes funciones, respectivamente,

1. funcion exponencial

2. funcion lineal

3. cosenos

en los puntos  t_{i} = t^2,\quad i = 0,1,......,5

Pauta para el desarrollo:

  • Formular el sistema de ecuaciones, que corresponde al ajuste de la funcion f(x) por el polinomio.
  • Escribir el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial Xa = y.
  • Formular las ecuaciones normales para el ejemplo.


DESARROLLO.

1. Función lineal.


 y_{1} = a_{0} +  a_{1} X

f(x)=e^x

  • Formular Sistema de Ecuaciones.</li>

    i = 0: \quad a_{0} =e^0

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} =e^1

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} =e^4

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} =e^9

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1} =e^16

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1} =e^25



    • Forma Matricial.



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      e^0   \\
      e^1   \\
      e^4   \\
      e^9   \\
      e^{16}         \\
      e^{25}   \\
    \end{pmatrix}


    • Ecuaciones normales para el ejemplo según formula.



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      e^0   \\
      e^1   \\
      e^4   \\
      e^9   \\
      e^{16}         \\
      e^{25}   \\
    \end{pmatrix}



    Desarrollo con respecto a:


     f(x) = a + bx


    • Formular sistema de ecuaciones.


    i = 0: \quad a_{0} = a

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} = a + b

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} = a + 4b

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} = a + 9b

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}= a + 16b

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}= a + 25b



    • Forma matricial




     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      a    \\
      a + b   \\
      a + 4b   \\
      a + 9b   \\
      a + 16b         \\
      a + 25b   \\
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo segun la formula



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      a   \\
      a + b   \\
      a + 4b   \\
      a + 9b   \\
      a + 16b         \\
      a + 25b   \\
    \end{pmatrix}


    Desarrollo con respecto a:


     f(x) = cos(x)



    • Formular sistema de ecuaciones.



    i = 0: \quad a_{0} = 1

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} = 0

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} = cos(4)

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} = cos(9)

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}= cos(16)

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}= cos(25)



    • Forma Matricial



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo segun formula



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  \\
      1 & 1  \\
      1 & 4  \\
      1 & 9  \\
      1 & 16              \\
      1 & 25 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}


    DESARROLLO


    2. Funcion cuadratica

     y_{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2


     f(x) = e^x



    • Formalar sistema de ecuaciones.



    i = 0: \quad a_{0} =e^0

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} + a_{2}=e^1

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2} =e^4

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2}=e^9

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}+ 64a_{2} =e^{16}

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}+ 125a_{2} =e^{25}



    • Forma matricial


     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0  & 0 \\
      1 & 1  & 1\\
      1 & 4  &16\\
      1 & 9  &27\\
      1 & 16 &64             \\
      1 & 25 &125
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}         \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      e^0   \\
      e^1   \\
      e^4   \\
      e^9   \\
      e^{16}         \\
      e^{25}  \\
    \end{pmatrix}



    Ecuaciones normales para el ejemplo


     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16 \\
      1 & 9 & 27\\
      1 & 16& 64             \\
      1 & 25& 125 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125  \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2} \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64& 125\\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      e^0   \\
      e^1   \\
      e^4   \\
      e^9   \\
      e^16         \\
      e^25   \\
    \end{pmatrix}


    Desarrollo con respecto a:


     f(x) = a + bx



    • Formular sistema de ecuaciones.



    i = 0: \quad a_{0} = a

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} + a_{2} = a + b

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2}= a + 4b

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2}= a + 9b

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}+ 64a_{2}= a + 16b

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}+ 125_{2}= a + 25b



    • Forma matricial



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 4 & 16\\
      1 & 9 & 27\\
      1 & 16& 64              \\
      1 & 25& 125\\
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2} \\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      a    \\
      a + b   \\
      a + 4b   \\
      a + 9b   \\
      a + 16b         \\
      a + 25b   \\
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo Segun la formula



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 4 & 16 \\
      1 & 9 & 27 \\
      1 & 16& 64              \\
      1 & 25& 125
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 &16 & 27& 64 & 125\\
        \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}\\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125\\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      a   \\
      a + b   \\
      a + 4b   \\
      a + 9b   \\
      a + 16b         \\
      a + 25b   \\
    \end{pmatrix}


    Desarrollo con respecto a:


     f(x) = cos(x)



    • Formular sistema de ecuaciones.



    i = 0: \quad a_{0} = 1

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} + a_{2} = 0

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2}= cos(4)

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2} = cos(9)

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}+ 64a_{2}= cos(16)

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}+ 125_{2}= cos(25)



    • Forma Matricial



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 \\
      1 & 4 & 16 \\
      1 & 9 & 27 \\
      1 & 16& 64              \\
      1 & 25& 125 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}



    Ecuaciones normales para el ejemplo


     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16\\
      1 & 9 & 27 \\
      1 & 16& 64              \\
      1 & 25& 125 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125     
   \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 &125
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}


    DESARROLLO


    3. Funcion cubica.


     y_{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 + a_{3}x^3

     f(x) = e^x



    • Formulacion sistema de ecuaciones



     i= 0: a_{0} = e^0

     i=1 : a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = e^1

     i=1 : a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2} + 64a_{3} = e^4

     i=1 : a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2} + 81a_{3} = e^9

     i=1 : a_{0} + 16a_{1} + 64a_{2} + 256a_{3} = e^{16}

     i=1 : a_{0} + 25a_{1} + 125a_{2} + 625a_{3} = e^{25}



    • Forma matricial



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16& 64\\
      1 & 9 & 27& 81\\
      1 & 16& 64& 256              \\
      1 & 25& 125& 625\\
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2} \\
      a_{3}\\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      1     \\
      e^1\\
      e^4 \\
      e^9 \\
      e^{16}  \\
      e^{25}
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo.



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0\\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16 & 64 \\
      1 & 9 & 27 & 81\\
      1 & 16& 64 & 256             \\
      1 & 25& 125& 625 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125  \\
      0 & 1 & 64& 81& 256& 625 \\    
   \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}
      a_{3}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 &125 \\
      0 & 1 & 64& 81& 256&625\\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      e^1   \\
      e^4   \\
      e^9   \\
      e^{16}        \\
      e^{25}   \\
    \end{pmatrix}


    Desarrollo copecton res a:


     f(x) = a + bx



    • Formulación sistema de ecuaciones.




     i= 0 : a_0 = a

     1= 1: a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = a + b

     1= 2: a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2} + 64a_{3} = a + 4b

     1= 3: a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2} + 81a_{3} = a + 9b

     1= 4: a_{0} + 16a_{1} + 64a_{2} + 256a_{3} = a +16b

     1= 5: a_{0} + 25a_{1} + 125a_{2} + 625a_{3} = a + 25b



    • Forma Matricial.



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0 \\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16& 64\\
      1 & 9 & 27& 81\\
      1 & 16& 64& 256              \\
      1 & 25& 125& 625\\
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2} \\
      a_{3}\\
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      a     \\
      a + b\\
      a + 4b \\
      a + 9b \\
      a + 16b  \\
      a + 25b
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo.



     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0\\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16 & 64 \\
      1 & 9 & 27 & 81\\
      1 & 16& 64 & 256             \\
      1 & 25& 125& 625 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125  \\
      0 & 1 & 64& 81& 256& 625 \\    
   \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}
      a_{3}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 &125 \\
      0 & 1 & 64& 81& 256&625\\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      a   \\
      a + b   \\
      a + 4b   \\
      a + 9b   \\
      a + 16b        \\
      a + 25b   \\
    \end{pmatrix}


    Desarrollo con respecto a


     f(x) = cos(x)



    • Formulación sistema de ecuaciones


    i = 0: \quad a_{0} = 1

    i = 1:\quad a_{0} +  a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0

    i = 2:\quad a_{0} + 4a_{1} + 16a_{2} + 64a_{3}= cos(4)

    i = 3:\quad a_{0} + 9a_{1} + 27a_{2} + 81a_{3}= cos(9)

    i = 4:\quad a_{0} + 16a_{1}+ 64a_{2} + 256a_{3}= cos(16)

    i = 5:\quad a_{0} + 25a_{1}+ 125_{2} + 625a_{3}= cos(25)



    • Forma Matricial



     \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0\\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16& 64 \\
      1 & 9 & 27& 81 \\
      1 & 16& 64& 256              \\
      1 & 25& 125&625 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}  \\
      a_{3}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}



    • Ecuaciones normales para el ejemplo segun formula.


     \mathbb{}  \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0\\
      1 & 1 & 1 & 1\\
      1 & 4 & 16& 64\\
      1 & 9 & 27& 81 \\
      1 & 16& 64& 256\\             \\
      1 & 25& 125& 625 
 \end{pmatrix}
 \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 & 125    \\
      0 & 1 & 64& 81& 256& 625\\ 
   \end{pmatrix}
  \mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      a_{0}   \\
      a_{1}   \\
      a_{2}
      a_{3}
      \end{pmatrix}
  \mathbb{} = \;
\mathbb{} \;
   \begin{pmatrix}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
      0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
      0 & 1 & 16& 27& 64 &125\\
      0 & 1 & 64& 81& 256& 625 \\
        \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
      1   \\
      0   \\
      cos(4)   \\
      cos(9)   \\
      cos(16)         \\
      cos(25)   \\
    \end{pmatrix}

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