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Repaso: modelo $ y=a_0+a_ix $ con datos $ (x_1, y_1),..., (x_n, y_n) $ $ y_i=a_0+a_1x_1; i=1,...,n $

Objetivo: Minimizar la diferencia dentro de los datos de observación. queremos minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (errores)

$ Sr= \sum_{i=1}^n (y_1-a_o-a_1x^2_i-a_2x^2_2i )^2 $

derivando con respecto a cada uno de sus coeficiente desconocidos:

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_0} = -2\sum_{i=1}^n (y_1-a_o-a_1x_1i-a_2x_2i ) $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_1} = -2\sum_{i=1}^n x_1i(y_1-a_o-a_1x_i-a_2x_2i ) $

$ \frac{\partial S_r}{\partial a_2} = -2\sum_{i=1}^n x_2i(y_1-a_o-a_1x_i-a_2x_2i ) $

los coeficientes que dan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtiene al igualar a cero las derivadas y expresando el resultado en forma matricial.

$ \mathbb{A} = \; \begin{pmatrix} n &\sum_{i=1}^n x_1i &\sum_{i=1}^n x_2i &\sum_{i=1}^n x_m \\ \sum_{i=1}^n i &\sum_{i=1}^n x^2i &\sum_{i=1}^n x^3i &\sum_{i=1}^n x^ni\\ \sum_{i=1}^n x^2i &\sum_{i=1}^n x^3i &\sum_{i=1}^n x^4i &\sum_{i=1}^n x^ni \\ \sum_{i=1}^n x^mi &\sum_{i=1}^n x^m &\sum_{i=1}^n x^m &\sum_{i=1}^n x^m \end{pmatrix} $ matriz con m+1columnas, n+1 filas


$ \mathbb{A} = \; \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_m \end{pmatrix} $ vector columna con m+1 = $ \mathbb{A} = \; \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n y \\ \sum_{i=1}^n y_1, x_1 \\ \sum_{i=1}^n y_1, x^2i \\ \sum_{i=1}^n y_1, x^m \end{pmatrix} $


Tarea dada en clases: Implementar un código en MATLAB que resuelva este ejemplo.