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Repaso: modelo y=a_0+a_ix con datos (x_1, y_1),..., (x_n, y_n) y_i=a_0+a_1x_1; i=1,...,n

Objetivo: Minimizar la diferencia dentro de los datos de observación. queremos minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (errores)

 Sr= \sum_{i=1}^n (y_1-a_o-a_1x^2_i-a_2x^2_2i )^2

derivando con respecto a cada uno de sus coeficiente desconocidos:

\frac{\partial S_r}{\partial a_0} = -2\sum_{i=1}^n (y_1-a_o-a_1x_1i-a_2x_2i )

\frac{\partial S_r}{\partial a_1} = -2\sum_{i=1}^n x_1i(y_1-a_o-a_1x_i-a_2x_2i )

\frac{\partial S_r}{\partial a_2} = -2\sum_{i=1}^n x_2i(y_1-a_o-a_1x_i-a_2x_2i )

los coeficientes que dan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtiene al igualar a cero las derivadas y expresando el resultado en forma matricial.

  \mathbb{A} = \;
   \begin{pmatrix}
      n                  &\sum_{i=1}^n x_1i    &\sum_{i=1}^n x_2i   &\sum_{i=1}^n x_m \\
      \sum_{i=1}^n i     &\sum_{i=1}^n x^2i    &\sum_{i=1}^n x^3i   &\sum_{i=1}^n x^ni\\
      \sum_{i=1}^n x^2i  &\sum_{i=1}^n x^3i    &\sum_{i=1}^n x^4i   &\sum_{i=1}^n x^ni \\
      \sum_{i=1}^n x^mi  &\sum_{i=1}^n x^m   &\sum_{i=1}^n x^m    &\sum_{i=1}^n x^m
     
   \end{pmatrix} matriz con m+1columnas, n+1 filas


\mathbb{A} = \;
    \begin{pmatrix}
       a_0 \\
       a_1 \\
       a_2  \\
       a_m 
     \end{pmatrix} vector columna con m+1 = \mathbb{A} = \;
   \begin{pmatrix}
      \sum_{i=1}^n y \\
      \sum_{i=1}^n y_1, x_1 \\
      \sum_{i=1}^n y_1, x^2i  \\
      \sum_{i=1}^n y_1, x^m
    \end{pmatrix}


Tarea dada en clases: Implementar un código en MATLAB que resuelva este ejemplo.

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