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Sistema No-lineal sobredeterminado Editar

Resolver:

f(x,y)= e^x+e^y = 0

f(x,y)= xe^y = 0

f(x,y)= 2e^{2xy} = 0

a) Linealizar el sistema cerca del punto (x_0, y_0, z_0) y escribirlo en forma matricial.

b) En base a la linealizacion, deducir el metodo de Gauss-Newton.

Serie de Taylor para funcion de dos variables

 f(x,y)\approx f(x_0,y_0) + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y}(y-y_0)

f(x,y)\approx e^{x_0} + e^{y_0} + e^{x_0}(x-x_0) + e^{y_0}(y-y_0) = K(x,y)

g(x,y)\approx x_0e^{y_0} + e^{y_0}(x-x_0) + x_0e^{y_0}(y-y_0) = l(x,y)

h(x,y)\approx 2e^{2xy} + 4y_0e^{2x_0y_0}(x-x_0) + 4x_0e^{2x_0y_0}(y-y_0) =m(x,y)


Buscamos valores x_1, y_1 que minimicen la sumatoria.


k^2(x_1,y_1) + l^2(x_1,y_1) + m^2(x_1,y_1)


osea


" k(x_1,y_1)\approx 0 ,  l(x_1,y_1)\approx 0 ,   m(x_1,y_1)\approx 0 "


Escribir el sistema linealizado

\left . 
       \begin{matrix} 
          k(x_1,y_1)=0\\
          l(x_1,y_1)=0\\
          m(x_1,y_1)=0\\
       \end{matrix} 
    \right \}(*)


La forma matricial con \begin{array}{llll}\Delta x =x_1-x_0 , \Delta y = y_1-y_0\end{array} observar que (*) generalmente no hay solucion, sino solamente una aproximacion en el sentido de minimos cuadrados.


\left ( 
      \begin{matrix} 
         e^{x_0} & e^{y_0}  \\
         e^{y_0} & x_0e^{y_0} \\
         4y_0e^{2x_0y_0} & 4x_0e^{2x_0y_0} 
      \end{matrix}
   \right )

\left ( 
      \begin{matrix} 
         \begin{array}{llll}\Delta x \end{array} \\
         \begin{array}{llll}\Delta y \end{array} \\
              \end{matrix}
   \right )
= -
\left ( 
      \begin{matrix} 
         f(x_0,y_o)  \\
         g(x_0,y_o) \\
         h(x_0,y_o) 
      \end{matrix}
   \right )

Tenemos un sistema lineal sobredeterminado de forma A \begin{array}{llll}\Delta x \end{array}=b que podemos resolver a traves de ecuaciones normales.

A^TA\begin{array}{llll}\Delta x \end{array}=A^Tb

dado el modelo:

f(x)=\frac{a}{b+c\exp(-dx)}

y los datos

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      X_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
      \hline
      f_i & 1 & 4 & 15 & 30 & 50 & 55\\
      \hline
      \end{array}

formular el algoritmo que minimiza

S= \sum_{i=1}^n [f_i-f(x_i)]^2

buscar los parametros a, b, c, d que minimiza S

Criterio de extreme(minimo)

\frac{ds}{da} = 0

\frac{ds}{db} = 0

\frac{ds}{dc} = 0

\frac{ds}{dd} = 0

Tenemos 4 parametros (como variables desconocidas) y 6 ecuaciones(que corresponden a (x_i,f_i), i=1, ... , 6))

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