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Sistema No-lineal sobredeterminado Editar

Resolver:

$ f(x,y)= e^x+e^y = 0 $

$ f(x,y)= xe^y = 0 $

$ f(x,y)= 2e^{2xy} = 0 $

a) Linealizar el sistema cerca del punto $ (x_0, y_0, z_0) $ y escribirlo en forma matricial.

b) En base a la linealizacion, deducir el metodo de Gauss-Newton.

Serie de Taylor para funcion de dos variables

$ f(x,y)\approx f(x_0,y_0) + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y}(y-y_0) $

$ f(x,y)\approx e^{x_0} + e^{y_0} + e^{x_0}(x-x_0) + e^{y_0}(y-y_0) = K(x,y) $

$ g(x,y)\approx x_0e^{y_0} + e^{y_0}(x-x_0) + x_0e^{y_0}(y-y_0) = l(x,y) $

$ h(x,y)\approx 2e^{2xy} + 4y_0e^{2x_0y_0}(x-x_0) + 4x_0e^{2x_0y_0}(y-y_0) =m(x,y) $


Buscamos valores $ x_1, y_1 $ que minimicen la sumatoria.


$ k^2(x_1,y_1) + l^2(x_1,y_1) + m^2(x_1,y_1) $


osea


" $ k(x_1,y_1)\approx 0 , l(x_1,y_1)\approx 0 , m(x_1,y_1)\approx 0 $ "


Escribir el sistema linealizado

$ \left . \begin{matrix} k(x_1,y_1)=0\\ l(x_1,y_1)=0\\ m(x_1,y_1)=0\\ \end{matrix} \right \} $(*)


La forma matricial con $ \begin{array}{llll}\Delta x =x_1-x_0 , \Delta y = y_1-y_0\end{array} $ observar que (*) generalmente no hay solucion, sino solamente una aproximacion en el sentido de minimos cuadrados.


$ \left ( \begin{matrix} e^{x_0} & e^{y_0} \\ e^{y_0} & x_0e^{y_0} \\ 4y_0e^{2x_0y_0} & 4x_0e^{2x_0y_0} \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} \begin{array}{llll}\Delta x \end{array} \\ \begin{array}{llll}\Delta y \end{array} \\ \end{matrix} \right ) = - \left ( \begin{matrix} f(x_0,y_o) \\ g(x_0,y_o) \\ h(x_0,y_o) \end{matrix} \right ) $

Tenemos un sistema lineal sobredeterminado de forma $ A \begin{array}{llll}\Delta x \end{array}=b $que podemos resolver a traves de ecuaciones normales.

$ A^TA\begin{array}{llll}\Delta x \end{array}=A^Tb $

dado el modelo:

$ f(x)=\frac{a}{b+c\exp(-dx)} $

y los datos

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline f_i & 1 & 4 & 15 & 30 & 50 & 55\\ \hline \end{array} $

formular el algoritmo que minimiza

$ S= \sum_{i=1}^n [f_i-f(x_i)]^2 $

buscar los parametros a, b, c, d que minimiza S

Criterio de extreme(minimo)

$ \frac{ds}{da} = 0 $

$ \frac{ds}{db} = 0 $

$ \frac{ds}{dc} = 0 $

$ \frac{ds}{dd} = 0 $

Tenemos 4 parametros (como variables desconocidas) y 6 ecuaciones(que corresponden a $ (x_i,f_i), i=1, ... , 6) $)