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Falta Metodo gauss NewtonEditar

Método de Newton v/s Método de Gauss Newton Editado por: Alfredo Valenzuela


Metodo gauss NewtonEditar

Editado por: Alfredo Valenzuela


Partimos del sistema sobredeterminado de ecuaciones no-lineales

$ f(a,b,;x) = Fd $

(modelo - observaciones)

con:

$ \begin{pmatrix} f(a,b;x)\\ \end{pmatrix} \ = \begin{pmatrix} f_{1} (a,b;x_{1}) \\ f_{2} (a,b;x_{2})\\ f_{n} (a,b;x_{n}) \end{pmatrix} \ , x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{n} \end{pmatrix} \ , Fd = \begin{pmatrix} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{n} \end{pmatrix} \ $


Vector que reune todas las predicciones del modelo

y vector que reúne todas las observaciones.

Observar que la ecuacion Fd normamente no tiene solucion. Buscamos una aproximación en el sentido de mínimos cuadrados.

Linealizacion de la funcion $ f(a,b,;x) $

$ f(a_{i+1},b_{i+1}) = f(a_{i},b_{i}) + J_{f}(a_{i},b_{i}) {\Delta a \choose \Delta b} \quad = 0 $


(1) $ J_{f}(a_{i},b_{i}) {\Delta a \choose \Delta b} \quad = -f(a_{i},b_{i}) $

(2) $ a_{i+1} = a_{i} +\Delta a $ $ b_{i+1} = b_{i} +\Delta b $


Sistema no-lineal sobredeterminado. Resolver a través de ecuaciones normales.



Objetivo: comparar el rendimiento de ambos metodos.

Datos : $ (x_i ,f_i ) i =1,2...n $

Modelo : $ f(a,b;x) a,b :parametros. $

En ambos metodos se buscan estos dos parametros,que ajusten el modelo de mejorar a los datos observados.


METODO DE NEWTON :

Objetivo :Minimizar la funcion.

$ S_(a,b) = ( \sum_{i=1}^n (f_(a,b;x) - f_i )^2 $


Criterio para minimo:


        $ <math>\vec{F}_(a,b) =  \nabla  S_(a,b) = \vec{0}  =  <math>\mathbb \;         \begin{pmatrix}             0 \\                                          0          \end{pmatrix} $


Linealizacion de la funcion

$ \vec{F}_(a,b) $

F(a_i+1 , b_i+1 ) = F(a_i , b_i ) + Y_f (a_i , b_i)  \begin{pmatrix} 
     a \\                              
     b 
  \end{pmatrix}</math>


Algoritmo :

1.- Resolver Y_f (a_i, b_i)