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Falta Metodo gauss NewtonEditar

Método de Newton v/s Método de Gauss Newton Editado por: Alfredo Valenzuela


Metodo gauss NewtonEditar

Editado por: Alfredo Valenzuela


Partimos del sistema sobredeterminado de ecuaciones no-lineales

 f(a,b,;x) = Fd

(modelo - observaciones)

con:

 \begin{pmatrix}        
f(a,b;x)\\

 \end{pmatrix} \ = 

\begin{pmatrix}  
f_{1} (a,b;x_{1}) \\
f_{2} (a,b;x_{2})\\ 
f_{n} (a,b;x_{n})  \end{pmatrix} \ , x =

\begin{pmatrix}  
x_{1} \\
x_{2} \\ 
x_{n}  \end{pmatrix} \  , Fd =

\begin{pmatrix}  
f_{1} \\
f_{2} \\ 
f_{n}  \end{pmatrix} \


Vector que reune todas las predicciones del modelo

y vector que reúne todas las observaciones.

Observar que la ecuacion Fd normamente no tiene solucion. Buscamos una aproximación en el sentido de mínimos cuadrados.

Linealizacion de la funcion  f(a,b,;x)

 f(a_{i+1},b_{i+1}) = f(a_{i},b_{i}) + J_{f}(a_{i},b_{i}) {\Delta a  \choose \Delta b} \quad = 0


(1)  J_{f}(a_{i},b_{i}) {\Delta a  \choose \Delta b} \quad = -f(a_{i},b_{i})

(2)  a_{i+1} = a_{i} +\Delta a  b_{i+1} = b_{i} +\Delta b


Sistema no-lineal sobredeterminado. Resolver a través de ecuaciones normales.



Objetivo: comparar el rendimiento de ambos metodos.

Datos : (x_i ,f_i )  i =1,2...n

Modelo : f(a,b;x)   a,b :parametros.

En ambos metodos se buscan estos dos parametros,que ajusten el modelo de mejorar a los datos observados.


METODO DE NEWTON :

Objetivo :Minimizar la funcion.

S_(a,b) = ( \sum_{i=1}^n (f_(a,b;x) - f_i )^2


Criterio para minimo:


        <math>\vec{F}_(a,b) =  \nabla  S_(a,b) = \vec{0}  =  <math>\mathbb \;
        \begin{pmatrix} 
           0 \\                              
           0 
        \end{pmatrix}


Linealizacion de la funcion

\vec{F}_(a,b)

F(a_i+1 , b_i+1 ) = F(a_i , b_i ) + Y_f (a_i , b_i)  \begin{pmatrix} 
     a \\                              
     b 
  \end{pmatrix}</math>


Algoritmo :

1.- Resolver Y_f (a_i, b_i)

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