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Regla del Trapecio

I = \int_{a}^{b}  f(x) \, dx \approx (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}

Regla de trapecio de aplicación múltiple


220px-Trapezoidal rule illustration small.svg


hay n+1 puntos igualmente espaciados x_0, x_1, x_2, ...,x_n

asignamos  x_0=a_1 \qquad x_n=b


I = \int_{a}^{b}  f(x) \, dx = \int_{x_0}^{x_1}  f(x) \, dx + \int_{x_1}^{x_2}  f(x) \, dx + ... + \int_{x_{n-1}}^{x_n}  f(x) \, dx


\qquad \approx h \frac{f(x_0)+f(x_1)}{2} + h \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} + h \frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}


= \frac{h}{2} \left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right]  ;\qquad \qquad h= \frac{b-a}{n}



Regla de Simpon


 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}[(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)].

x_0=a,\quad x_1=\frac{a+b}{2},\quad x_2=b


Regla de Simpson de aplicación múltiple con nodos equidistantes


a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b


I = \int_{a}^{b}  f(x) \, dx = \int_{x_0}^{x_2}  f(x) \, dx + \int_{x_2}^{x_4}  f(x) \, dx + ... + \int_{x_{n-2}}^{x_n}  f(x) \, dx


\qquad \approx (x_2-x_0) \frac{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)}{6}\; +\; (x_4 - x_2) \frac{f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)}{6} \; +\; ...\; + \;(x_n-x_{n-2})\frac{f(x_{n-2})+4f(x_1)+f(x_n)}{6}


= \frac{2(b-a)}{6n} \left[f(x_0)+4\sum_{i=1,3,5}^{n-1} f(x_i) + \sum_{i=2,4,6}^{n-2} f(x_i) + f(x_n)\right]

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