FANDOM


2012-11-19 18.53.15

Autor: Alfredo Andrés Valenzuela Riquelme

Control sorpresa con variantes de la prueba 2Editar

  • PREGUNTA 1

"Nodos no equidistantes"

Dados los nodos  x_0 = 0, x_1 = 1/3, x_2 = 1 determinar las

ponderaciones  p_0, p_1, p_2 tal que:


\displaystyle\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = (x_2 - x_0) = \displaystyle\sum_{i=0}^2 p_i f(x_i) = p_0f(x_0) + p_1f(x_1) + p_2f(x_2)


sea válida para cualquiera función cuadrática f(x) = a +bx + cx^2

Solución:

\displaystyle\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = (x_2 - x_0) = \displaystyle\sum_{i=0}^2 p_i f(x_i) = p_0f(x_0) + p_1f(x_1) + p_2f(x_2)


válida para cualquier función cuadrática f(x) = a +bx + cx^2

Determinar ponderaciones  p_0, p_1, p_2 con nodos x_0=0,x_1=1/3,x_2=1

\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx = P_0f(0)+P_1f(1/3)+P_2(1)


Paso 1: "Calcular el lado izquierdo"

\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx

\displaystyle\int_{0}^{1} (a+bx+cx^2) dx

\displaystyle\int_{0}^{1} (a) dx + \displaystyle\int_{0}^{1} (bx) dx + \displaystyle\int_{0}^{1} (cx^2) dx

 = a + b/2 + c/3


Paso 2: "Calcular lado derecho"

P_0f(0)+P_1f(1/3)+P_2(1) con f(x) = a +bx + cx^2

= P_0f(a)+P_1f(a + b/3 + c/9)+P_2(a+b+c)

= a(P_0+P_1+P_2)+b(P_1/3 + P_2)+c(P_1/9+P_2)


Paso 3: "Comparar ambos lados"

 a + b/2 + c/3 = a(P_0+P_1+P_2)+b(P_1/3 + P_2)+c(P_1/9+P_2)

La ecuación debe ser válida para cualquier selección (a,b,c)

(a,b,c) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (3 ecuaciones con tres variables)

--> Formular sistema de tres ecuaciones:

(1,0,0): a=1, b=0, c=0 -->  1 = P_0 + P_1 + P_2

(0,1,0): a=0, b=1, c=0 -->  1/2 = P_1 1/3

(0,0,1): a=0, b=0, c=1 -->  1/3 = P_1 1/9 + P_2


Una vez resuelto el sistema:

P_0 = 0

P_1 = 3/4

P_2 = 1/4


  • PREGUNTA 2:

"Sistema no-lineal sobredeterminado"

f(x,y) = ye^x=0

g(x,y) = e^{2y}=0

h(x,y) = e^{3xy}=0

a) Linealizar el sistema cerca de un punto X_0,Y_0,Z_0

f_1 (x_1,x_2, ... x_n)= 0

f_2 (x_1,x_2, ... x_n)= 0

f_n (x_1,x_2, ... x_n)= 0

forma general f(x)= a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... a_n x_{n-b} = 0


f(x,y) = = f(x_0,y_0) + {\partial f(x_0,y_0)\over\partial x} (x-x_0)+ {\partial f(x_0,y_0)\over\partial y} (y-y_0)

--> f(x,y) = ye^x=0

resolviendo...

 = y_0 e^{x_0} + (y_0e^{x_0})(x-x_0)+ e^{x_0}(y-y_0) = k(x,y)

--> g(x,y) = e^{2y} =0

resolviendo...

 e^{2{y_0}} + e^{2{y_0}} (x-x_0) + 2e^{y_0}(y-y_0) = l(x,y)

--> h(x,y) = e^{3xy} =0

resolviendo...

e^{3{x_0}{y_0}} + 3y_0 e^{3{x_0}{y_0}} (x-x_0) + 3 x_0 e^{3{x_0}{y_0}(y-y_0)} = m(x,y)


buscamos los valores x1, y1 que minimizan la sumatoria

k^2(x_1,y_1) + l^2(x_1,y_1) + m^2(x_1,y_1)

Escribir el sistema linealizado:

h(x_1,y_1) = 0

l(x_1,y_1) = 0

m(x_1,y_1) = 0

En forma matricial \Delta x = x_1 - x_0, \Delta y = y_1 - y_0


\begin{pmatrix}
y_0 e^{x_0} & e^{x_0}\\
e^{2{y_0}} & 2 e^{2{y_0}}\\
3y_0 e^{3{x_0}{y_0}} & 3x_0 e^{3{x_0}{y_0}}\\

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
\Delta x \\
 \\
 \\
 \\
\Delta y
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
f(x_0,y_0)\\
g(x_0,y_0)\\
h(x_0,y_0)\\

\end{pmatrix}

Sistema lineal sobredeterminado de la forma

A \Delta x = b



Pendiente.... pregunta sobre distancia dentro de dos funciones. (por si alguien lo quiere completar.)

APORTE : Natalia Gonzalez

Distancia dentro dos funciones : Calcular la distancia mínima dentro las curvas de las funciones 
f(x)= -x^2,

y = 3 + sin(x)

a) Definir una función  g : R^2 \rightarrow R
que mide el cuadrado de la distancia.

b)Formular como se realizaría un paso de la iteración según método de Newton-Raphson; dado cierto punto  (x_i,y_i)
arbitrario, como se calcularía un punto 
( x_{i+1},y_{i+1} ) 
más cerca a la solución exacta.


f(x)= -x^2, y = 3 + sin(x)


f_{1}(x)= f_{2} (x)  , g(x)=f_{1}(x)- f_{2} (x)=0

 
g(x)= -x^2 - (3 + sin(x))

 
g(x)= -x^2 - 3 - sin(x))

 
g'(x)= -2x -cos(x)

 
\Rightarrow y_{1} = f1(x) =  -x_{1}^2

 
y_{2}(x)= f_{2} = 3 + sin(x))

 
d(x_{1},x_{2})= \sqrt[2]{ (x_{1}-x_{2})^2 + (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2 }

 
d^2= (x_{1}-x_{2})^2 + (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2

 
\frac{ \delta Fd^2 }{ \delta x_{1} } = \frac{ \delta (x_{1}-x_{2})^2}{\delta x_{1}} + \frac{ \delta (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2}{ \delta x_{1}}

 
0 = 2(x_{1}-x_{2})+ 2(-x_{1}^2 - 4x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))

 
\frac{\delta Fd}{\delta x_{2}} = \frac{\delta (x_{2}-x_{2})^2}{\delta x_{2}} + \frac{\delta (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2}{\delta x_{2}}

 
0 = -2(x_{1}-x_{2}) - 2cos(x_{2})(-x_{1}^2- (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))

 
(x_{1}-x_{2}) -4x_{1}(-x_{1}^2 - 2x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) = 0 \Rightarrow u(x_{1},x_{2})


(x_{1}-x_{2}) - cos(x_{2})(-x_{1}^2- (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) = 0 \Rightarrow v(x_{1},x_{2})

con  x_{0},y_{0} \Rightarrow (0,1)



\begin{pmatrix} \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{2}}\\ \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_{1} \\ \Delta x_{2} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}


\begin{pmatrix} 1 + 4x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) & -cos(x_{2})\\ 1 - 2x_{1} & -1 + sen(x_{2})(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))+cos(x_{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_{1} \\ \Delta x_{2} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}


Escribe la segunda sección de tu artículo aquí.

¡Interferencia de bloqueo de anuncios detectada!


Wikia es un sitio libre de uso que hace dinero de la publicidad. Contamos con una experiencia modificada para los visitantes que utilizan el bloqueo de anuncios

Wikia no es accesible si se han hecho aún más modificaciones. Si se quita el bloqueador de anuncios personalizado, la página cargará como se esperaba.

También en FANDOM

Wiki al azar