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2012-11-19 18.53.15

Autor: Alfredo Andrés Valenzuela Riquelme

Control sorpresa con variantes de la prueba 2Editar

  • PREGUNTA 1

"Nodos no equidistantes"

Dados los nodos $ x_0 = 0, x_1 = 1/3, x_2 = 1 $ determinar las

ponderaciones $ p_0, p_1, p_2 $ tal que:


$ \displaystyle\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = (x_2 - x_0) = $ $ \displaystyle\sum_{i=0}^2 p_i f(x_i) = p_0f(x_0) + p_1f(x_1) + p_2f(x_2) $


sea válida para cualquiera función cuadrática $ f(x) = a +bx + cx^2 $

Solución:

$ \displaystyle\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = (x_2 - x_0) = $ $ \displaystyle\sum_{i=0}^2 p_i f(x_i) = p_0f(x_0) + p_1f(x_1) + p_2f(x_2) $


válida para cualquier función cuadrática $ f(x) = a +bx + cx^2 $

Determinar ponderaciones $ p_0, p_1, p_2 $ con nodos $ x_0=0,x_1=1/3,x_2=1 $

$ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx = P_0f(0)+P_1f(1/3)+P_2(1) $


Paso 1: "Calcular el lado izquierdo"

$ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx $

$ \displaystyle\int_{0}^{1} (a+bx+cx^2) dx $

$ \displaystyle\int_{0}^{1} (a) dx $ + $ \displaystyle\int_{0}^{1} (bx) dx $ + $ \displaystyle\int_{0}^{1} (cx^2) dx $

$ = a + b/2 + c/3 $


Paso 2: "Calcular lado derecho"

$ P_0f(0)+P_1f(1/3)+P_2(1) $ con $ f(x) = a +bx + cx^2 $

$ = P_0f(a)+P_1f(a + b/3 + c/9)+P_2(a+b+c) $

$ = a(P_0+P_1+P_2)+b(P_1/3 + P_2)+c(P_1/9+P_2) $


Paso 3: "Comparar ambos lados"

$ a + b/2 + c/3 $ $ = a(P_0+P_1+P_2)+b(P_1/3 + P_2)+c(P_1/9+P_2) $

La ecuación debe ser válida para cualquier selección (a,b,c)

$ (a,b,c) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) $ (3 ecuaciones con tres variables)

--> Formular sistema de tres ecuaciones:

$ (1,0,0): a=1, b=0, c=0 $ --> $ 1 = P_0 + P_1 + P_2 $

$ (0,1,0): a=0, b=1, c=0 $ --> $ 1/2 = P_1 1/3 $

$ (0,0,1): a=0, b=0, c=1 $ --> $ 1/3 = P_1 1/9 + P_2 $


Una vez resuelto el sistema:

$ P_0 = 0 $

$ P_1 = 3/4 $

$ P_2 = 1/4 $


  • PREGUNTA 2:

"Sistema no-lineal sobredeterminado"

$ f(x,y) = ye^x=0 $

$ g(x,y) = e^{2y}=0 $

$ h(x,y) = e^{3xy}=0 $

a) Linealizar el sistema cerca de un punto $ X_0,Y_0,Z_0 $

$ f_1 (x_1,x_2, ... x_n)= 0 $

$ f_2 (x_1,x_2, ... x_n)= 0 $

$ f_n (x_1,x_2, ... x_n)= 0 $

forma general $ f(x)= a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... a_n x_{n-b} = 0 $


$ f(x,y) = = f(x_0,y_0) + $ $ {\partial f(x_0,y_0)\over\partial x} (x-x_0)+ $ $ {\partial f(x_0,y_0)\over\partial y} (y-y_0) $

--> $ f(x,y) = ye^x=0 $

resolviendo...

$ = y_0 e^{x_0} + (y_0e^{x_0})(x-x_0)+ e^{x_0}(y-y_0) = k(x,y) $

--> $ g(x,y) = e^{2y} =0 $

resolviendo...

$ e^{2{y_0}} + e^{2{y_0}} (x-x_0) + 2e^{y_0}(y-y_0) = l(x,y) $

--> $ h(x,y) = e^{3xy} =0 $

resolviendo...

$ e^{3{x_0}{y_0}} + 3y_0 e^{3{x_0}{y_0}} (x-x_0) + 3 x_0 e^{3{x_0}{y_0}(y-y_0)} = m(x,y) $


buscamos los valores x1, y1 que minimizan la sumatoria

$ k^2(x_1,y_1) + l^2(x_1,y_1) + m^2(x_1,y_1) $

Escribir el sistema linealizado:

$ h(x_1,y_1) = 0 $

$ l(x_1,y_1) = 0 $

$ m(x_1,y_1) = 0 $

En forma matricial $ \Delta x = x_1 - x_0, \Delta y = y_1 - y_0 $

$ \begin{pmatrix} y_0 e^{x_0} & e^{x_0}\\ e^{2{y_0}} & 2 e^{2{y_0}}\\ 3y_0 e^{3{x_0}{y_0}} & 3x_0 e^{3{x_0}{y_0}}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \\ \\ \\ \Delta y \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} f(x_0,y_0)\\ g(x_0,y_0)\\ h(x_0,y_0)\\ \end{pmatrix} $

Sistema lineal sobredeterminado de la forma

$ A \Delta x = b $



Pendiente.... pregunta sobre distancia dentro de dos funciones. (por si alguien lo quiere completar.)

APORTE : Natalia Gonzalez

Distancia dentro dos funciones : Calcular la distancia mínima dentro las curvas de las funciones $ f(x)= -x^2, y = 3 + sin(x) $

a) Definir una función $ g : R^2 \rightarrow R $ que mide el cuadrado de la distancia.

b)Formular como se realizaría un paso de la iteración según método de Newton-Raphson; dado cierto punto $ (x_i,y_i) $ arbitrario, como se calcularía un punto $ ( x_{i+1},y_{i+1} ) $ más cerca a la solución exacta.

$ f(x)= -x^2, y = 3 + sin(x) $

$ f_{1}(x)= f_{2} (x) , g(x)=f_{1}(x)- f_{2} (x)=0 $

$ g(x)= -x^2 - (3 + sin(x)) $

$ g(x)= -x^2 - 3 - sin(x)) $

$ g'(x)= -2x -cos(x) $

$ \Rightarrow y_{1} = f1(x) = -x_{1}^2 $

$ y_{2}(x)= f_{2} = 3 + sin(x)) $

$ d(x_{1},x_{2})= \sqrt[2]{ (x_{1}-x_{2})^2 + (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2 } $

$ d^2= (x_{1}-x_{2})^2 + (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2 $

$ \frac{ \delta Fd^2 }{ \delta x_{1} } = \frac{ \delta (x_{1}-x_{2})^2}{\delta x_{1}} + \frac{ \delta (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2}{ \delta x_{1}} $

$ 0 = 2(x_{1}-x_{2})+ 2(-x_{1}^2 - 4x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) $

$ \frac{\delta Fd}{\delta x_{2}} = \frac{\delta (x_{2}-x_{2})^2}{\delta x_{2}} + \frac{\delta (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2}{\delta x_{2}} $

$ 0 = -2(x_{1}-x_{2}) - 2cos(x_{2})(-x_{1}^2- (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) $

$ (x_{1}-x_{2}) -4x_{1}(-x_{1}^2 - 2x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) = 0 \Rightarrow u(x_{1},x_{2}) $

$ (x_{1}-x_{2}) - cos(x_{2})(-x_{1}^2- (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) = 0 \Rightarrow v(x_{1},x_{2}) $

con $ x_{0},y_{0} \Rightarrow (0,1) $


$ \begin{pmatrix} \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{2}}\\ \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_{1} \\ \Delta x_{2} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix} 1 + 4x_{1}(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))) & -cos(x_{2})\\ 1 - 2x_{1} & -1 + sen(x_{2})(-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2}))+cos(x_{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_{1} \\ \Delta x_{2} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} $


Escribe la segunda sección de tu artículo aquí.