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Todo modelo no- lineal "simplifica" lo que describe, y tiene en consecuencia un cierto dominio de validez que puede significar " de utilidad".

En esta oportunidad ofreceremos información y presentación de procesos y soluciones para un modelo no lineal.

Ajuste no-LinealEditar

Modelos no Lineales.


En los modelos lineales los parámetros o valores poblacionales desconocidos entran linealmente en la ecuación. No importa que la o las variable(s) independiente(s) estén en la ecuación en forma no lineal, recordemos que estas ecuaciones son fijas, ya sea por el diseño o por observación. Algo importante es que cada parámetro aparezca multiplicado por una cantidad conocida y después sumado. Esto permite encontrar soluciones usando métodos para resolver ecuaciones múltiples. Ejemplos clásicos de modelos lineales de regresión son: 1) El modelo de regresión lineal simple.

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2) El modelo de regresión múltiple.

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3) El modelo de regresión polinomial.

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Los modelos no lineales son modelos de regresión en los cuales los parámetros aparecen en forma no lineal en la ecuación. Por ejemplo,

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Estas últimas tres ecuaciones son comúnmente usadas para describir crecimiento, y se llaman, el modelo de Gompertz, el modelo Logístico y el modelo de Richards. Cuando la respuesta crece o decrece monotónicamente, pero la magnitud de la tasa de crecimiento o decrecimiento se hace cada vez más pequeña, y la variable dependiente se aproxima a una constante, la siguiente función exponencial suele usarse:


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Con todos estos modelos estamos presentando la media de la respuesta Y como una función no lineal de una o más variables independientes. Para completar una especificación del modelo, debemos indicar además la distribución de Y,y la independencia o dependencia entre los valores de Y.

Ahora que ya se han comentado los diferentes modelos no lineales, podemos comenzar a mostrar el modelo con el cuál en éste informe trabajaremos y nos introduciremos en su desarrollo. Por ejemplo, no está demás decir que es posible encontrar que algunos parámetros de cualquier curva de crecimiento varíen de individuo a individuo, entonces así podamos reflejar su variabilidad mediante términos aleatorios en el modelo. Lo que cambiará ahora es que estaremos modelando una función no lineal expresará “la esperanza” o media condicional de la variable de respuesta, dado así el o los efectos aleatorios. En nuestro modelo se considerará una circunferencia de 5 arboles de manzanas, con 7 diferentes mediciones por árbol. En la siguiente figura se mostrarán los perfiles individuales de los 5 árboles.

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El modelo que nosotros utilizaremos será el logístico, entonces tenemos:


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En este modelo se representa una asíntota y su división representa el intercepto y β está relacionado a la pendiente.

Cuando se pueda observar las curvas individuales, podremos pensar que todas las curvas comienzan más o menos en el mismo diámetro, pero cada una alcanza un diámetro máximo diferente

. Supongamos que asumimos que la asíntota β tiene un efecto aleatorio, que le llamaremos μ, la especificación del modelo condicional entonces sería:


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Si suponemos que cada observación, dado un efecto aleatorio del individuo, es independiente de las otras observaciones y tiene una distribución normal con varianza constante, y si suponemos que los μ son a su vez variables normales con cierto valor medio y cierta varianza, entonces se puede decir que tenemos completamente especificado nuestro modelo.

Como se ha visto en modelos lineales, la presencia de efectos aleatorios tiene el efecto que las observaciones provenientes de la misma unidad están correlacionadas, ya que comparten el mismo valor observado de μ. El problema que esta correlación no siempre es simple de estimar, y varía dependiendo de los valores de x involucrados.

Esta formulación del modelo permite considerar varios efectos aleatorios, además no está limitada a datos con distribución normal. La principal dificultad de realizar inferencias con este modelo es el aspecto computacional. Se puede decir que no existen fórmulas explícitas para el cálculo de los estimadores máximo verosímiles, y las rutinas de optimización usadas deben combinarse con rutinas de integración numérica, que son particularmente difíciles de usar cuando tenemos más de 3 o 4 efectos aleatorios en un modelo.


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Otra de las dificultades que no surge en los modelos lineales con distribución normal es la interpretación de los parámetros. Si se tiene a un modelo que no incluye coeficientes aleatorios, el modelo estudia la relación entre la esperanza de la respuesta y la o las variable(s) independiente(s). Esto significa que podemos interpretar, por ejemplo, el intercepto en el ejemplo de crecimiento de troncos,

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como un intercepto promedio para la población de árboles de la cual se obtienen las muestras estudiadas. En cambio, en el modelo con coeficientes aleatorios no lineales, la relación modelada es la de la esperanza condicional de la respuesta con la(s) variable(s) independiente(s).

Entonces,


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se interpretará como el intercepto de un árbol “típico”, típico en el sentido que el valor realizado de los efectos aleatorios es su promedio: [0,0]. Este tipo de interpretación se denomina “inferencia específica para sujetos”.

Más bien decir, que en el modelo no lineal con efectos aleatorios modelamos relaciones condicionales, mientras que en un modelo no lineal sin efectos aleatorios modelamos relaciones marginales. Más aún, si en el modelo no lineal mixto se cumple la relación entre la Y, y la X con la función logística, entonces la esperanza marginal no va a tener la misma relación. Esto se debe a que para obtener la esperanza marginal de la Y a partir de su esperanza condicional debemos “promediar” la esperanza condicional para cada valor posible del efecto aleatorio. En el caso de efectos aleatorios con distribución normal, este proceso implica integrar respecto a la distribución normal bivariada de [μ , v].

Este proceso no siempre mantiene la misma relación entre la Y, y la X como en el caso de los modelos lineales mixtos. Para ver un ejemplo gráfico de este proceso, consideremos el efecto que tendría promediar pendientes en una regresión lineal y en una regresión no lineal:

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12,5








Figura 2. Promedios de modelos no-lineales.


En las figuras 1 y 2 se puede apreciar que cuando promediamos rectas con pendientes iguales en una línea recta la pendiente promedio es la misma, pero cuando promediamos curvas logísticas con pendientes iguales la pendiente promedio es menor. Ahora, si lo que se desea es interpretar un efecto para el promedio de la población (por ejemplo, el efecto general de aplicar cierto tratamiento de descontaminación a predios contaminados) la idea de usar modelos formulados con la esperanza marginal parece preferible. Si se quiere ajustar los modelos se usa el método de máxima verosimilitud. Se debe recordar que en este caso para obtener la función de verosimilitud se debe integrar a través de la distribución de los efectos aleatorios, por lo que los algoritmos computacionales incluyen los aspectos de integración y maximización.


proc nlmixed data=tree;

parms b0=190 b1=5 b2=500 su=35 se=8;

num = b0+u; ex = b1*exp(-day/b2);

den = 1 + ex; model y ~ normal(num/den,se*se);

random u ~ normal(0,su*su) subject=tree;

run;


Salida SAS . Datos Manzano.

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A











Conclusiones. Para comprender como formular una modelo de ajuste no-lineal, es preciso conocer mucho acerca de sus propiedades, en ésta oportunidad se nos permitió comprender el tipo de análisis que debemos dominar para lograr desarrollar un problema como éste. Verdaderamente, si nos detenemos a comprender que en nuestra realidad podemos encontrar muchos más problemas como éstos, así como también pasa con otras ramas de estudios, se podrá entender que todo esta totalmente relacionado, que conocimientos básicos nos llevarán a desarrollar y a avanzar en más descubrimientos que puedan aportar a nuestra realidad, comprender que cada método numérico que podamos conocer será sólo un piso para alcanzar los altos techos llenos de descubrimientos que nos esperan por ser hallados. Sin duda, os modelos no lineales nos invitan a aventurarnos para formular nuevos modelos, que estén vinculados con la realidad para así ejercitar y poder tomar cada conocimiento.

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