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Modelo Propio Editar

Si los parámetros del modelo entran en la ecuación en forma no lineal, entonces tenemos un modelo no lineal

¿Lineal o no lineal?


E(Y)=\begin{array}{llll} \beta_0 \ +  \beta_1 \ x_1 +...+ \beta_k \ x_k \qquad\qquad E(Y) = \frac{ \beta_0 \ }{ [1+e^{-( \beta_1 \ + \beta_2 \ x )}]^{ \beta_3 \ }} \end{array}


E(Y)= \begin{array}{llll} \frac{1}{ \beta_0 \ + \beta_1 \ x + \beta_2 \ x^2 } \end{array}


E(Y)= \begin{array}{llll} \beta_0 \ exp(-exp(- \beta_0 \ + \beta_1 \ x)) \qquad E(Y)= \beta_0 \ + \beta_1 \ x+ \beta_2 \ x^2 +...+ \beta_k \ x^k \end{array}


Muchas aplicaciones en biología, medicina,química, agricultura.

En muchos casos surgen a partir de mecanismos físicos, químicos o biológicos conocidos(usando por ejemplo, ecuaciones diferenciales).

Permiten modelar datos reales en forma “natural”con mucha flexibilidad(por ejemplo, con asíntotas,valores positivos de las Y, un único valor máximo).

Muchos parámetros tienen interpretación práctica(tasas de degradabilidad, crecimiento máximo,velocidad máxima de absorción, etc.)

Problemas con los modelos no lineales

Se deben usar métodos iterativos para estimar los parámetros por mínimos cuadrados, máxima verosimilitud, etc.

Es común encontrar problemas de convergencia en los métodos iterativos.

Distintas parametrizaciones pueden afectar no solo la interpretación sino también las propiedades de los estimadores(por ej., una parametrización puede ser muy interesante desde el punto de vista de su interpretación práctica, pero muy mala para lograr convergencia de estimadores).

Familias de funciones no lineales:curvas de crecimiento

Exponencial:  \begin{array}{llll} \frac{dE(Y)}{dt}= \gamma \ E(y);\quad E(Y) = \alpha \ exp( \gamma \ t) \end{array}


Monomolecular:  \begin{array}{llll} \frac{dE(Y)}{dt}= \gamma \ ( \beta \ -Y);\quad E(Y) = \beta_0 \ - \alpha \ exp(- \gamma \ t) \end{array}


Logístico:  \begin{array}{llll} \frac{dE(Y)}{dt}= \gamma \ E(Y)( \beta \ - E(Y));\quad E(Y) = \frac{ \beta \ }{1+exp(- \alpha \ + \gamma \ t)}  \end{array}


Gompertz:  \begin{array}{llll} \frac{dE(Y)}{dt}=  \gamma \ E(Y)[log \beta \ - log E(Y) ];\quad E(Y) = \beta \ exp[- \alpha \ exp(- \gamma \ t ) ] \end{array}


Richards:  \begin{array}{llll} \frac{dE(Y)}{dt}=- \frac{ \gamma \ }{ \kappa \ } E(Y)[( \frac{E(y)}{ \beta \ })^{ \kappa \ } - 1];\quad E(Y) = \beta \ (1 + \kappa \ exp(- \gamma \ (t- \zeta \ )))^{ \frac{-1}{ \kappa \ }} \end{array}


Ejemplos de otras familias de funciones no lineales

Modelo lineal con puntos de cambio: \begin{array}{llll} E(Y)= \beta_0 \ + \beta_1 \ x I(x \le \alpha \ ) + ( \beta_1 \ a+ \beta_2 \ (x- \alpha \ ))I(x> \alpha \ )    \end{array}

Modelo polinomial recíproco(Holliday):  \begin{array}{llll} E(Y)= ( \alpha \ + \beta \ x + \gamma \ x^2)^{-1}   \end{array}

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