FANDOM


Modelo no-lineal.

A.-Dado un modelo en la forma de la funcion:

$ F_i = G^2 \cdot (x_i - x^*)^2 + (y_i - y^*)^2 + (t_i - t^*)^2 - v_i^2 $

con los datos $ (x_i, y_i,t_i) ; i = 1,2,..,n $

Donde D es la profundidad del agua, g es la gravedad terrestre(9,8 m/s), v es la velocidad de propagación del tsunami

que minimizan la sumatoria:

$ S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2 $
220px-Tsunami-kueste.01.vm
D004

datos conocidos tsunami : profundidad tsunami $ (x_i,y_i,t_i),i=1,2,...,n. $

Datos desconocidos : profundidad de las olas $ (x_*,y_*,t_i),i=1,2,...,n. $

tiempo de propagación:$ t_i $.

Posición del origen de un tsunami$ (x^*,y^*,t^*). $

tiempo cuando ocurrio el tsunami:$ t^* $.

velocidad(Promedio)de onda tsunami $ v $.

Simplificación en el modelo:Que se asume una "velocidad promedio"de onda tsunami.

En realidad podria ser que hay variaciones en la velocidad, dado que hay variaciones en la composición de las rocas .

La velocidad de onda tsunami exapnasion de la onda

Modelo físico:"velocidad"="gravedad"/"distancia", o sea

Denominar, identificar variables:

velocidad de la onda tsunami: $ v $.

Distancia o profundidad:$ \sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2} $

modelo matematico:

$ \sqrt{g} \sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2} $

$ v^2 = G^2 \cdot ( \sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2)^2} $

$ v^2 = G^2 \cdot (x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2 $

$ g(i) = G^2 \cdot (x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2 $

Minimizar la función:

$ S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2 $

$ min_x^*,_y^*, S(x^*,y^*,t^*) $

para linealizar la función necesitamos encontrar los ceros de la función donde introduciremos $ F(x^*,y^*,t^*) $ con $ p_i=x^*,y^*,t^,v $ entonces asi optendremos la función:$ F(P_i)=S(x^*,y^*,t^*,v) $

$ \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} $ $ =2 F1\cdot\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} $

$ \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} $$ =2 F2\cdot\frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} $

$ \frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*} $$ =2 F3\cdot\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*} $

$ \frac{\partial F4(P_i)}{\partial v^*} $$ =2 F4\cdot\frac{\partial F4(P_i)}{\partial v^*} $

$ J(P_i)\begin{pmatrix} \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial t^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial v}\\ \frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F2(P_i)}{\partial t^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial v}\\ \frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial v}\\ \frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial v}\\ \end{pmatrix} $

Linealizar $ F(p_{i+1}) = F(p_i) + J(p_i) \begin{pmatrix} \triangle x \\ \triangle y \\ \triangle t \\ \triangle v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} $