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Modelo no-lineal.

A.-Dado un modelo en la forma de la funcion:

 F_i = G^2 \cdot (x_i - x^*)^2 + (y_i - y^*)^2 + (t_i - t^*)^2 - v_i^2

con los datos  (x_i, y_i,t_i) ; i = 1,2,..,n

Donde D es la profundidad del agua, g es la gravedad terrestre(9,8 m/s), v es la velocidad de propagación del tsunami

que minimizan la sumatoria:

S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2
220px-Tsunami-kueste.01.vm
D004

datos conocidos tsunami : profundidad tsunami (x_i,y_i,t_i),i=1,2,...,n.

Datos desconocidos : profundidad de las olas (x_*,y_*,t_i),i=1,2,...,n.

tiempo de propagación:t_i.

Posición del origen de un tsunami(x^*,y^*,t^*).

tiempo cuando ocurrio el tsunami:t^*.

velocidad(Promedio)de onda tsunami v.

Simplificación en el modelo:Que se asume una "velocidad promedio"de onda tsunami.

En realidad podria ser que hay variaciones en la velocidad, dado que hay variaciones en la composición de las rocas .

La velocidad de onda tsunami exapnasion de la onda

Modelo físico:"velocidad"="gravedad"/"distancia", o sea

Denominar, identificar variables:

velocidad de la onda tsunami: v.

Distancia o profundidad:\sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2}

modelo matematico:

\sqrt{g} \sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2}

v^2 = G^2 \cdot  ( \sqrt{(x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2)^2}

v^2 = G^2 \cdot (x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2

g(i) = G^2 \cdot (x_i,x^*)^2+(y_i,y^*)^2+(t_i,t^*)^2

Minimizar la función:

S=\sum_{i=1}^{n}g_i^2

min_x^*,_y^*,  S(x^*,y^*,t^*)

para linealizar la función necesitamos encontrar los ceros de la función donde introduciremos F(x^*,y^*,t^*) con p_i=x^*,y^*,t^,v entonces asi optendremos la función:F(P_i)=S(x^*,y^*,t^*,v)

\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} =2 F1\cdot\frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*}

\frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*}=2 F2\cdot\frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*}

\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*}=2 F3\cdot\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*}

\frac{\partial F4(P_i)}{\partial v^*}=2 F4\cdot\frac{\partial F4(P_i)}{\partial v^*}

J(P_i)\begin{pmatrix}
  \frac{\partial F1(P_i)}{\partial x^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial t^*} & \frac{\partial F1(P_i)}{\partial v}\\
  \frac{\partial F2(P_i)}{\partial x^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial y^*} & \frac{\partial F2(P_i)}{\partial t^*}& \frac{\partial F2(P_i)}{\partial v}\\
  \frac{\partial F3(P_i)}{\partial x^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial t^*} &\frac{\partial F3(P_i)}{\partial v}\\
  \frac{\partial F4(P_i)}{\partial x^*}&\frac{\partial F4(P_i)}{\partial y^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial t^*} &\frac{\partial F4(P_i)}{\partial v}\\
\end{pmatrix}

Linealizar F(p_{i+1}) = F(p_i) + J(p_i) \begin{pmatrix} \triangle x \\ \triangle y \\ \triangle t \\  \triangle v  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\  0  \end{pmatrix}

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