Resumen de contenidos

Resumen de contenidos tratados

Lunes 6 de Agosto

• Normativas del curso

• Regresión lineal, correspondiente al Capítulo 17 del libro

• Tarea: Calcular $\frac{\partial S_r}{\partial a_0}, \frac{\partial S_r}{\partial a_1}, \frac{\partial S_r}{\partial a_2}$

Martes 7 de Agosto

• Transformación de modelos no-lineales a modelos lineales

• Tarea: Calcular $\frac{\partial S_r}{\partial a_0}, \dots,\frac{\partial S_r}{\partial a_2}$ del modelo quadrático

Jueves 9 de Agosto

• ¿Porque igualar derivadas parciales a cero? (Para calcular el mínimo de $S_{r}$)

• Tarea: Implementar un código que resuelve el ejemplo de regresión lineal múltiple del libro,

Lunes 13 de Agosto

• Ecuaciones normales $X^T X a = X^T y$

• Multiplicaciones de matriz para el ejemplo

• Deducir ecuación normal para unos modelos específicos

• Tarea: Deducir ecuación normal para el caso general

Martes 14 de Agosto

• Control sobre derivar ecuaciones normales

• Exposición del método de Gauss-Newton

• Tarea: Ejemplo para el método de Gauss-Newton

Jueves 16 de Agosto

• "Repaso"

Lunes 20 de Agosto

• Guía de Aprendizaje: Desarrollo punto 1: Sintaxis MATLAB

• Introducción punto 2

Jueves 23 de Agosto

• Revisión ejercicios 2 y 3

• Demostración código MATLAB con variantes para el ejercicio 2

• Introducción a ejercicio 3

Lunes 27 de Agosto

• Desarrollo ejercicio 5

5-. AJUSTES DE CURVAS CON UNA FUNCION EXPONECIAL

Función

${P(t)= C_1 e^{(-1,5t)}+ C_2 e^{(-0,3t)}+C_3 e^{(-0,05t)} ,t>0}$

Tabla de valores Muestra los valores de t(horas) que seran reemplazados en nuestra función, tomando asi los valores de P(t) (miles) que es el primer paso para formar nuestras ecuaciones lineales.

t (Horas)	0,5	1	2	3	4
P(t) (miles)	7	5,2	3,8	3,2	2,5

Ecuaciones lineales

Formación de ecuaciones lineales con sus respectivos valores, para proceder a  formar nuestras matrices.

$P(0,5)= C_1 e^{(-1,5(0,5))}+ C_2 e^{(-0,3(0,5))}+C_3 e^{(-0,05(0,5))} = 7$ $P(1)= C_1 e^{(-1,5(1))}+ C_2 e^{(-0,3(1))}+C_3 e^{(-0,05(1))} = 5,2$ $P(2)= C_1 e^{(-1,5(2))}+ C_2 e^{(-0,3(2))}+C_3 e^{(-0,05(2))} = 3,8$ $P(3)= C_1 e^{(-1,5(3))}+ C_2 e^{(-0,3(3))}+C_3 e^{(-0,05(3))} = 3,2$ $P(4)= C_1 e^{(-1,5(4))}+ C_2 e^{(-0,3(4))}+C_3 e^{(-0,05(4))} = 2,5$

Forma Matricial

Muestra en forma de matriz nuestras ecuaciones lineales anteriores de la forma :

$A * C = Y$

$\begin{pmatrix} {e^{(-1,5(0,5))}}&{e^{(-0,3(0,5))}}&{e^{(-0,05(0,5))}}\\ {e^{(-1,5(1))}}&{e^{(-0,3(1))}}&{e^{(-0,05(1))}}\\ {e^{(-1,5(2))}}&{e^{(-0,3(2))}}&{e^{(-0,05(2))}}\\ {e^{(-1,5(3))}}&{e^{(-0,3(3))}}&{e^{(-0,05(3))}}\\ {e^{(-1,5(4))}}&{e^{(-0,3(4))}}&{e^{(-0,05(4))}} \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} {C_1}\\ {C_2}\\ {C_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {7}\\ {5,2}\\ {3,8}\\ {3,2}\\ {2,5} \end{pmatrix}$

Ecuacion Normal

Para formar nuestra ecuacion normal debemos sacar la transpuesta de A.

$A^t = \; \begin{pmatrix} {e^{(-1,5(0,5))}}&{e^{(-1,5(1))}}&{e^{(-1,5(2))}}&{e^{(-1,5(3))}}&{e^{(-1,5(4))}}\\ {e^{(-0,3(0,5))}}&{e^{(-0,3(1))}}&{e^{(-0,3(2))}}&{e^{(-0,3(3))}}&{e^{(-0,3(4))}}\\ {e^{(-0,05(0,5))}}&{e^(-0,05(1))}&{e^(-0,05(2))}&{e^(-0,05(3))}&{e^(-0,05(4))} \end{pmatrix}$

Luego expresar de la manera :

$A^t * A * C = Y * A^t$

$A^t \begin{pmatrix} {e^{(-1,5(0,5))}}&{e^{(-0,3(0,5))}}&{e^{(-0,05(0,5))}}\\ {e^{(-1,5(1))}}&{e^{(-0,3(1))}}&{e^{(-0,05(1))}}\\ {e^{(-1,5(2))}}&{e^{(-0,3(2))}}&{e^{(-0,05(2))}}\\ {e^{(-1,5(3))}}&{e^{(-0,3(3))}}&{e^{(-0,05(3))}}\\ {e^{(-1,5(4))}}&{e^{(-0,3(4))}}&{e^{(-0,05(4))}} \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} {C_1}\\ {C_2}\\ {C_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {7}\\ {5,2}\\ {3,8}\\ {3,2}\\ {2,5} \end{pmatrix} A^t$

• Desarrollo caso puntual ejercicio, ajustar función Cuadrática con valores de función lineal.

Función

$f(X)=A_0+A_1 X+A_2 X^2$ ; $f(X)=Ax+B$ Puntos $Ti=i^2 , i = 1,2,\dots ,5$

Tabla de valores

i	Ti^2	f(x)
0	0	B
1	1	A+B
2	4	4A+B
3	9	9A+B
4	16	16A+B
5	25	25A+B

Ecuaciones lineales

Al interpretar nuestra tabla podemos deducir las ecuaciones que estan mas abajo.

$A_0+ A_1+ A_2 = A+B$

$A_0+ 2A_1+4 A_2 = 4A+B$

$A_0+ 3A_1+9 A_2 = 9A+B$

$A_0+ 4A_1+16 A_2 = 16A+B$

$A_0+ 5A_1+25 A_2 = 25A+B$

Forma matricial

Al hallar las ecuaciones lineales, lo podemos expresar de la manera :

$Z*A=Y$

$\begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\\ 1 & 4 & 16\\ 1 & 5 & 25 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} {A_1}\\ {A_2}\\ {A_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {A}\\ {A+B}\\ {4A+B}\\ {9A+B}\\ {16A+B}\\ {25A+B} \end{pmatrix}$

Ecuación normal

Matriz transpuesta de Z

$Z^t = \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \end{pmatrix}$

Agregamos la matriz compuesta en los dos lados de la igualdad formamos la ecuacion normal que esta de la forma:

$Z^t*Z*A=Y*Z^t$

Entonces

$Z^t \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\\ 1 & 4 & 16\\ 1 & 5 & 25 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} {A_1}\\ {A_2}\\ {A_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {A}\\ {A+B}\\ {4A+B}\\ {9A+B}\\ {16A+B}\\ {25A+B} \end{pmatrix} Z^t$

Jueves 30 de Agosto

• Explicación breve método de Newton y Gauss-Newton

• Desarrollo ejercicio 4

Lunes 3 de Septiembre

• Trabajo sobre ejercicios propuestos

• Desarrollo ejercicio 7 de la guía de aprendizaje

Jueves 6 de Septiembre

• Desarrollo de tareas propuestas

• Espacio para dudas y preguntas

Lunes 10 de Septiembre

• Ejemplo: $f(x) = x^2 - 2 = 0$, desarrollar 3 pasos con los métodos de bisección y de Newton, iteraciones hasta $| x_u - x_l | < \varepsilon = 0.0001$

algoritmo de la biseccion

solicitar valores x0, x1 // valores para el intervalo [a,b]

si f(x0)*f(x1)<0 entonces //cambio de signo para la f(x)

repetir:

      calcular x = (x0+x1)/2

      si f(x0)*f(x1)<0 //la raiz se encuentra en el 1er subintervalo [x0,x]

          x1=x;

sino

          x0=x;

  mientras abs(f(x))>tolerancia //0.0001

  mostrar x // raiz

sino

mensaje: no hay cambio de signo.

• Tarea: Dado $f(x) = x^2 - 3$

Martes 11 de Septiembre

• Deducir el método de Newton de la siguiente manera: Aproximar $f$ por una función lineal con $f(x_i) = l(x_i), f'(x_i) = l'(x_i)$, luego calcular el cero de la función lineal: $l(x_{i+1}) = 0$

• Ejemplo $f(x) = x^2 - 2 = 0$

• Tarea: Dado $f(x) = e^{-x} - x = 0$ realizar 3 pasos de iteración utilizando (a) el método de Newton (b) el método de bisección.

Jueves 13 de Septiembre

TEMARIO:

• Control sorpresa: método de bisección y de Newton

• Deducción del método de Newton por serie de Taylor; también para sistemas, utilizando notación matricial

• Tarea: Ver desarrollo / ejemplos del libro

Requisitos para la Unidad: (Conocimientos Previos.)

Método De Bisección:

Para encontrar una solución a un $f(x) = 0$ dada f en un intervalo [a, b], donde $f(a)$ y $f(b)$poseen signos opuestos de esta manera lograremos operar a la manera de razonamiento deductivo para implementar el Método de Bisección.

Definiendo el algoritmo racional de la siguiente manera:

Entrada: extremos $a$ y $b$; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones $N_0$;

Salida: solución aproximada p ó mensaje de fracaso.

Paso 1: tomar $i=1$;

Paso 2: mientras que $i \neq N_0$ seguir pasos 3 - 6;

Paso 3: tomar $p = a + \frac{b-a}{2}$ (calcular $p_i$);

Paso 4: si $f(p) = 0$ ó $\frac{b-a}{2}$ < TOL entonces SALIDA ($p$);

(procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR; Paso 5: tomar $i = i + 1$

Paso 6: si $f(a) \cdot f(p) > 0$ entonces tomar $a = p$,

si no, tomar $b=p$ (calcular $a_i, b_i$); Paso 7: SALIDA ("El método fracasó después de No iteraciones, $N_0$ = ", $N_0$);

(procedimiento completado sin éxito); PARAR.

Entonces como ejemplo podemos operar frente a una función como la siguiente:

(Implemantación MatLAB)

%Definimos la funcion Biseccion
%a la cual le necesita de los parametros solicitados

function raiz =biseccion(fun,a,b,tol)
%tol = tolerancia
f=inline(fun);
if f(a)*f(b)<0  %cambio de signo
   x=a;
   while abs(f(x))>tol
      x=(a+b)/2;
      if f(a)*f(b)<0
         b=x;
      else 
         a=x;
      end
   end
   raiz=x;
else 
   raiz = 'No hay cambio de signo.'
   
end

%hacer empleo de este codigo desde la consola de MatLAB
%guardar con nombre que otorge usted ej: m_biseccion.m

(Ejecución del codigo)

>> m_biseccion('x^2 - 2', 1,2,0.0001);

ans = 1.4142

Método de Newton:

La aplicación de este método es a razón de la busqueda de resoluciones de sistemas de ecuaciones no lineales, teniendo encuenta que dicho sistema posee $n$ ecuaciones con $n$ incognitas presentado por:

$f(x) = 0 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{cl} f_1(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) = 0 \\ f_2(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) = 0\\ \dotsb \dotsb \dotsb \\ f_n(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) = 0 \end{array}\right.$

teniendo en cuenta lo anterior y el indice de error estipulado a precisión $\varepsilon$ y $\delta$, un valor máximo de iteraciones posibles (maxiter) y un vector $x$ con el cual iniciar el procedimiento

INICIO ALGORITMO:

$tol x \longleftarrow 2 \cdot \varepsilon$

$tol f \longleftarrow 2 \cdot \delta$

iteración $\longleftarrow 0$

Mientras (( iteración < maxiter) y (( tolx > $\varepsilon$) o ((tolf > $\delta$), hacer

..........Evaluar la matriz [$J_f(x)$]

..........Resolver el sistema de ecuaciones lineales: [$J_f(x)$]$\cdot \delta x = f(x)$

..........Si (el sistema no puede resolverse) entonces: ..................Escribir mensaje de error (Jacobiana singular) y

..................Finalizar el proceso

..........Si no:

.....................$x \longleftarrow X - \delta x$

.....................$tol x \longleftarrow ||\delta x||$

.....................$tol f \longleftarrow ||f(x)||$

......................iteración $\longleftarrow$ iteración + 1

..........Fin condición.

Fin Mientras condicional

Si (( $tol x < \varepsilon$) y ( $tol f < \delta$) entonces:

...........Tomar x como solución.

si no:

...........Escribir un mensaje de error en el proceso de cálculo.

Fin condición.

Fin del Algoritmo.

NOTA: A la matriz [$J_f(x)$], por analog´ıa con lo que representa la derivada

de una función, se la denomina en algunos textos en lugar de matriz jacobiana, matriz tangente. ( demostración MatLAB)

% Definir x como función vectorial

x=[0; 0]; % limite [0; 5]
x=[1; 1]; % converge a [6.2832; -34.4784], pero 
x=[3.2; -5]; % parece ser cerca al un mínimo de norm(f)
% al fin converge a [0; 5], pero necesita muchas más iteraciones
x=[1; 1];

X=[x];
for i=1:70
  f=[x(2)*sin(x(1)) - x(1)*exp(x(2)); x(1)^2+x(2)-5]
  J=[x(2)*cos(x(1))-exp(x(2)) sin(x(2))-x(1)*exp(x(2)) ; 2*x(1) 1]
  dx=-J\f % resuelve el sistema de ecuaciones lineales J*dx=-f
  x=x+dx;
  X=[X x];
end

% aproximación en plano x1-x2
figure(2); plot(X(1,:), X(2,:),'kx-'); hold on;
xstar=X(:,end); plot(xstar(1),xstar(2),'ro')
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('|| f  ||')

% figura con errores
xstar=[0; 5]; % una solución exacta  
[M N]=size(X);
E=sum((X-xstar*ones(1,N)).^2);
figure(5); semilogy(E,'kx')

% Matriz Jacobiana aproximada por differencias finitas
h=0.01;
h=sqrt(eps)
x(1)=x(1)+h
fmas1=[x(2)*sin(x(1)) - x(1)*exp(x(2)); x(1)^2+x(2)-5]

x(1)=x(1)-h; x(2)=x(2)+h;
fmas2=[x(2)*sin(x(1)) - x(1)*exp(x(2)); x(1)^2+x(2)-5]
Df1=(fmas1-f)/h
Df2=(fmas2-f)/h
Japprox=[Df1 Df2]

% Visualizar lineas de nivel
[X1 X2]=meshgrid(-9:0.1:9, -9:0.1:9);
% F=[X2.*sin(X1) - X1.*exp(X2); X1.^2+X2-5];
F=(X2.*sin(X1) - X1.*exp(X2)).^2 + (X1.^2+X2-5).^2;
F=log(F);
% figure(2); mesh(X1,X2,F)
figure(3); contour(X1,X2,F)
view(30,20)

%empledo directo en la consola MATLAB

Deducción del Método de Newton a partir de de Serie de Taylor:

Serie de Taylor:

Si $f$ admite una representacion en serie de potencias convergentes a $f(x) = \sum a_n(x- c)^n, \forall x \in I$ entonces:

$a_n = \frac{f_{(c)}^{(n)}}{n!}$ y

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f_{(c)}^{(n)}}{n!} (x - c)^n$

extendiendo la Serie obtenemos: $f(c) + \frac{f^{'}(c)}{1!}(x-c)^1 + \frac{f^{'''}(c)}{2!}(x-c)^2 + \frac{f^{'''}(c)}{3!}(x-c)^3 + ...$

teniendo $c = 0$, se denomina Serie de Maclaurin.

Conocido esto la Serie de Taylor queda definida como:

$f(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)} (a)}{n!}(x - a)^n$

Deducción del Método de Newton por medio de la Serie de Taylor.

Entonces para introducir el método de Newton, supongamos que f es continuamente difereciable 2 veces en el intervalo [a,b], o sea $f \in C^2[a,b]$. Sea $\bar{x} \in [a,b]$ una aproximación a la raiz $p$ tal que $f^{'}(\bar{x}) \neq 0$ y $|\bar{x} - p|$ es pequeño, Consideramos el polinomio de Taylor de primer grado para $f(x)$ alrededor de $\bar{x}$.

$f(x) = f(\bar{x}) + (x - \bar{x})\cdot f^{'}(\bar{x}) + \frac{(x- \bar{x})^2}{2} \cdot f^{''}(\zeta (x))$,

donde $\zeta(x)$ está entre $x$ y $\bar{x}$ como $f(p) = 0$

Representación Método Newton

Entonces el método de Newton se deriva suponiendo que el término $|\bar{x} - p|$ es despreciable y que:

$0 \approx f(\bar{x}) + (p - \bar{x}) \cdot f^{'}(\bar{x})$,

despejando$p$ de esta ecuación resulta:

$p \approx \bar{x} - \frac{f(\bar{x})}{f^{'}(\bar{x})}$

Lo cual implica ser una mejor aproximación a p que $\bar{x}$. Entonce el Método de Newton implica el generar la suceción ${p_n}$ definida por:

$p_n = p_{n-1} - \frac{f(p_{n-1})}{f^{'}(p_{n-1})}$, $n \geq 1$

Lunes 24 de Septiembre

Prueba1:

1) $f(x) = x^2 -1$

                ptos ti = 2( i - 2), i=0,1,....4

             $a_1 = 15$

             $a_0 + a_1 + a_2 =3$

             $a_0 + 2a_1 + 4a_2 =-1$

             $a_0 + 3a_1 + 9a_2 =3$

             $a_0 + 4a_1 + 16a_2 =15$

             $\mathbb{A} = \;
               \begin{pmatrix}
                  1 & 0  & 0 \\
                  1 & 1  & 1  \\
                  1 & 2  & 4 \\
                  1 & 3  & 9 \\
                  1 & 4  & 16 \\
               \end{pmatrix}$$\mathbb {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\end{pmatrix}}$ = $\mathbb {\begin{pmatrix}15\\3\\-1\\3\\15\\\end{pmatrix}}$

              $x^txa = x^ty$



2)

$\begin{matrix}
                 f(-3) & = & ae^-3 + be^-3/2 = 5\\
                 f(-2) & = & ae^-2 + be^-2/2 = -7  \\
                 f(0)  & = & ae^0 + be^0/2 = 2 \\
                 f(1) &  = & ae^1 + be^1/2 = 9   \\
                 f(4) &  = & ae^4 + be^4/2 = 4 \\
              \end{matrix}$

Forma matricial:

$\begin{pmatrix} e^-3 & e^-3/2 \\ e^-2 & e^-2/2 \\ e^0 & e^0/2 \\ e^1 & e^1/2 \\ e^4 & e^4/2 \\ \end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 5\\ -7 \\ 2\\ 9 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$

Martes 25 de Septiembre

• Trabajo en hoja "prueba test"

• Obstáculo: Confundir los métodos, por ejemplo cuando se piede la "linealización" (acerca de un punto) unas veces se aplica una transformación de la función completa, por ejemplo al tomar el logaritmo en ambos lados.

Prueba Test.

1.Linealización.

Dada la función $f(x)= x^3 - 5$

• Determinar una función lineal $l(x)$ que corresponde a la tangente del gráfico $(x, f(x))$ por un punto $(x_0, f(x_0))$

Solución:

$f(x); x_0$ $f(x)+ f'(x)(x_0 -x_0)=0$ linealización función

a) $l(x) = f(x_i) + f(x_i)(x - x_i)$

b) $l(x) = 0$ buscamos los ceros de la linealización

Deducción del método de Newton

$f(x_i) + f'(x) + f(x_i)(x_{i+1} - x_i) = 0$

$f'(x_i)(x_{i+1} - x_i) = - f(x_i)$

$x_{i+1} = x_i -f(x_i) / f'(x_i)$

Fijando $x_0$determinar el caso de la función $l(x)$por ej: $x_0=1$

a) $l(x) = x_0^3 + 3x_0^2x -3x_0^3 -5$

$l(x) = -2x_0 + 3x_0^2 x - 5$

b) $l(x) = 0$

    $-2x_0^3 + 3x_0^2 x - 5$

$x = 2x_0^3 + 5 / 3x_0^2$

2.Ecuaciones normales.

Dado el sistema sobredeterminado

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 3\\ 0 & 7 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ .\\ . \\ . \\ x_n \end{pmatrix} =\; \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}$

Determinar n:

Determinar el sistema de ecuaciones normales.

Solución:

3. Otro ajuste de curvas.

Dado los puntos $(x_1, y_1),...,(x_m, y_m), m \boldsymbol{\varepsilon}{1,2,...}$

Jueves 27 de Septiembre

• Revisión de prueba 1

• Obstáculos en pregunta 1: Distinguir datos y modelo; calcular datos

en función de un índice; formular modelo para "función quadrática"

• Obstáculos en pregunta 2: Reconocer que la linealidad del modelo consiste en ser lineal en sus parámetros

• Obstáculos en pregunta 3: Método de bisección: condición de invariante no se cumplio en el intervalo dado, entonces no hay un cero dentro el intervalo, entonces hay que reajustar el intervalo. - Método de Newton: Algoritmo mismo parece fácil

Lunes 1 de Octubre

• "Prueba test", linealización: Obstáculo que casi ningún recuerde el concepto de "linealización". Unos encontraron lo correspondiente en el cuaderno (por inasistencia en la respectiva clase)

Martes 2 de Octubre

• Trabajo autónomo de 1 hora en "prueba test"

• Obstáculo que falta el "ánimo de calcular"

Jueves 4 de Octubre

• Sistemas de ecuaciones no-lineales

• Método de iteración de punto fijo; método de Newton

• Tarea: Ejemplo (Ver problemas por ejemplo 6.12, 6.13)

Lunes 8 de Octubre

• Control 3: Método de Newton para 2 ecuaciones no-lineales, distancia mínima de 2 funciones

• Solución del control

Martes 9 de Octubre

• Diagnóstico: Dominio de funciones $g(x) = \sqrt{\frac{x^2-4}{x-4} - 1}$

• Mínimo de dos funciones $y = \exp(x), y=-x^2$

Jueves 11 de Octubre

• Revisión diagnóstico dominio

Martes 16 de Octubre

• Sistema no-lineal sobre-determinado. Obstáculo: Saber derivar $2 e^{2xy}$ con respecto a x, y

• Tarea: Ajuste no-lineal con función logística

Jueves 18 de Octubre

• Integración: Regla del trapecio

• Ejercicio: Calcular $\int_a^b f_1(x) dx$ cuando $f_1$ lineal

• Obstáculo: Ánimo de calcular

• Tarea: Simplificar el cálculo al anticipar el resultado

Lunes 22 de Octubr

• Regla de Simpson

• Calcular

$\int_a^b f_2(x) dx$ cuando $f_2$ quadrático y con $x_0=0, x_1=1/2, x_2=1$

• Conceptos: "Nodos" y "ponderaciones"

• Tarea: Encontrar ponderaciones para el caso de nodos no equidistantes

Martes 23 de Octubre

• Reglas de trapecio y Simpson: Aplicación múltiple

Jueves 25 de Octubre

• Integración Numérica

$\int_{x0}^{x2} f(x)\, dx = (x2-x0) \sum_2^0 = pi f(xi) = (x2-x0)(p0 f(x0)+p1 f(x1)+p2 f(x2)) (*)$

• Nodos x0, x1, x2

• Ponderaciones p0, p1, p2

• Ejercicio: Dado los nodos x0=0, x1= $\frac{1}{2}$ x2=1, encontrar ponderaciones p0, p1, p2 tal que la ecuacion (*), es decir $\int_{0}^{1} f(x)\, dx = (p0 f(0)+p1 f(\frac{1}{2})+p2 f(1))$ sea valida si f es una funcion cuadratica, es decir $f(x)= a + bx + cx^2$.

• Paso 1: Calcular $\int_{0}^{1} f(x)\, dx = \int_{0}^{1} (a + bx + cx^2)\$ (Lado Izquierdo)
• Paso 2: Calcular $(p0 f(0)+p1 f(\frac{1}{2})+p2 f(1))$
• Comparar Ambos Lados

• Paso 1: $\int_{0}^{1} (a + bx + cx^2)\, dx = ax + \frac{bx^2}{2} + \frac{cx^3}{3}\Big ]_{0}^{1} = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$.

• Paso 2: $p0 f(0)+p1 f(\frac{1}{2})+p2 f(1) = p0 (a) + p1 (a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}) + p2 (a + b + c) = p0 a+ p1 a +\frac{p1 b}{2} + \frac{p1 c}{4}+ p2a + p2b + p2c = a(p0+p1+p2) + b(\frac{p1}{2} + p2) + c (\frac{p1}{4} + p2)$.

• Paso 3: $a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} = a(p0+p1+p2) + b(\frac{p1}{2} + p2) + c (\frac{p1}{4} + p2)$.

• Esta ecuacion debe ser valida para cualquier seleccion del triple de parametros (a, b, c), en particular para (a, b, c) = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
• Entonces tenemos 3 ecuaciones con 3 variables: p0, p1, p2.

• $(1,0,0)\rightarrow a=1,b=0,c=0 \rightarrow 1=p0+p1+p2$
• $(0,1,0)\rightarrow a=0,b=1,c=0 \rightarrow \frac{1}{2}=\frac{p1}{2}+p2$
• $(0,0,1)\rightarrow a=0,b=0,c=1 \rightarrow \frac{1}{3}=\frac{p1}{4}+p2$

Lunes 29 de Octubre

• Prueba 2

Martes 30 de Octubre

• Control con variantes de preguntas de la prueba 2

Lunes 5 de Noviembre

• Optimización: Ajuste no-lineal con función logística: Exposición de desarrollo completo

• Tarea de implementación (preferentemente hasta jueves)

Martes 6 de Noviembre

• Ejercicio: especificación de la matrix $J$ de $J(p_i) \Delta p = - F(p_i)$

• Obstáculos generales en primera instancia: Entender los apuntes, uso de notación matricial en contexto, entender los fundamentos de cada paso en el desarrollo del algorítmo, falta de disponibilidad de revisar los apuntes después de las clases. Reconocer el significado de símbolos y su mutua relación cuando se piede la especificación del ejemplo.

• Obstáculos específicos en segunda instancia: Simplificar lo más posible, por ejemplo al aplicar regla de producto

Jueves 8 de Noviembre

• Control: Ajuste no-lineal de curvas, ahora con función exponencial

Lunes 12 de Noviembre

Minimizar función escalar: Repaso del método de Newton

Martes 13 de Noviembre

Control: Minimizar función escalar

Jueves 15 de Noviembre

suspensión de clases presenciales

Lunes 19 de Noviembre

Minimización

Ejemplo (Modelo de Rosenbrock)

• Método de Newton: deducción del algorítmo
• seudocódigo de implementación
• exposición pauta informe ajuste no-lineal & acta
• Tarea: Perfeccionar seudocódigo, extender seudocódigo a ajuste no-lineal
• Pendiente: Explicar derivadas numéricas (diferencias finitas)

Martes 20 de Noviembre

Resumen: Comparación del método de Newton con método de Gauss-Newton

(Topón: Prueba en otro curso)

Jueves 22 de Noviembre

Comparación del método de Newton con método de Gauss-Newton

Implementación en MATLAB