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Distancia dentro de dos funciones

Calcular la distancia mínima dentro de las curvas de las funciones  
y=2+x^{2}, y= sin(x)

a)Definir una función g: R^{2}\rightarrow R que mide el cuadrado de la distancia.

b) Formular como se realizaría un paso de la iteración según método de Newton-Raphson; dado cierto punto (x_{i}, y_{i}) arbitrario, como se calcularía un punto (x_{i+1}, y_{i+1}) más cerca de la solución exacta.



f_{1}(x)= 2+ x^2, f_{2}(x) =  sin(x)


f_{1}(x)= f_{2} (x)


g(x)=f_{1}(x)- f_{2} (x)=0

 
g(x)= 2+ x^2 - ( sin(x))

 
g(x)= 2+ x^2  - sin(x))= 0


 
\Rightarrow y_{1} = f1(x) =  2+x_{1}^2

 
\Rightarrow y_{2}(x)= f_{2} =  sin(x))

 
d(x_{1},x_{2})= \sqrt[2]{ (x_{1}-x_{2})^2 + (2+x_{1}^2 - (sin(x_{2})))^2 }

 
d^2= (x_{1}-x_{2})^2 + (2+x_{1}^2 - (sin(x_{2})))^2

 
\frac{ \delta Fd^2 }{ \delta x_{1} } = \frac{ \delta (x_{1}-x_{2})^2}{\delta x_{1}} + \frac{ \delta (2 +x_{1}^2 - ( sin(x_{2})))^2}{ \delta x_{1}}

 
0 = 2(x_{1}-x_{2})+ 2(2+ x_{1}^2 - sin(x_{2}))2x_{1}

Dado F(x_{1},x_{2}) \in R criterio para extremos

\frac{\delta F(x_{1},x_{2})}{\delta x_{1}}=0

\frac{\delta F(x_{1},x_{2})}{\delta x_{2}}=0

entonces

 
0 = 2(x_{1}-x_{2})+ 2(2+ x_{1}^2 - sin(x_{2}))2x_{1}

\frac{\delta F}{\delta x_{2}}= -2(x_{1}-x_{2})+ 4x_{1}(2+ x_{1}^2 - sin(x_{2})) = 0


 
\frac{\delta Fd}{\delta x_{2}} = \frac{\delta (x_{2}-x_{2})^2}{\delta x_{2}} + \frac{\delta (-x_{1}^2 - (3 + sin(x_{2})))^2}{\delta x_{2}}


 
(x_{1}-x_{2}) -2x_{1}(2+x_{1}^2 - sin(x_{2})) = 0 \rightarrow u(x_{1},x_{2})


(x_{1}-x_{2}) - cos(x_{2})(2+ x_{1}^2- sin(x_{2})) = 0 \rightarrow v(x_{1},x_{2})

con  (x_{0} ,x_{0}) = (0,1)

Matriz Jacobiana



\begin{pmatrix} \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta u_{i}}{\delta x_{2}}\\ \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta v_{i}}{\delta x_{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_{1} \\ \Delta x_{2} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}


\begin{pmatrix} -2(2+x_{1}^2-sin(x_{2})+ (2x_{1})^2
 & -1+2(x_{1})(-sin(x_{2})
\\ (2+x_{1}^2-sin(x_{2})+ cos(x_{2})(2x_{1}+1)
 & -1 + sen(x_{2})(2+x_{1}^2 - sin(x_{2})+cos(x_{2})-cos(1) 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} \Delta x_{1} 
\\ \Delta x_{2} 
\end{pmatrix} = -
 \begin{pmatrix} u_{1} \\ v_{2} 
\end{pmatrix}



Sistema no-lineal sobredeterminado

Resolver el sistema no-lineal sobredeterminado  f(x,y)=ye^{x}=0, g(x,y)=e^{2x}=0, h(x,y)=2e^{2xy}=0.

a)Linealizar el sistema cerca de un punto (x_{0},y_{0},z_{0})

b)En base de la linealización, deducir el método de Gauss-Newton. Se pide el uso de las ecuaciones normales para resolver el sistema de ecuaciones lineales, resultante de la linealización.

f(x,y) = ye^x = 0

g(x,y)= e^{2x} = 0

 h(x,y)= 2e^{2xy} = 0

Serie de Taylor para función de dos variables.


 f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+ \frac{\delta f(x_{0},y_{0}) }{\delta x}(x-x_{0})+ \frac{\delta f(x_{0},y_{0}) }{\delta y}(y - y_{0})


  ye^{x} = f(y_{0}e^x_{0})+ e^x_{0}(x-x_{0})+ ye^{x_{0}}(y-y_{0})= K(x,y)


 e^{2x} = f(e^{2x})+ 2e^{2x_{0}}(x-x_{0})=\ell(x,y)


 2e^{2xy}= f(2e^{2x_{0}y_{0}})+ 4ye^{2x_{0}y_{0}}(x-x_{0})+ 4xe^{2x_{0}y_{0}}(y-y_{0})= M(x,y)


Buscamos valores que minimizan la sumatoria.


K^{2}(x_{1},y_{1})+\ell^{2}(x_{1},y_{1})+M^{2}(x_{1},y_{1})

o sea


K(x_{1},y_{1})\approx 0,  \ell(x_{1},y_{1})\approx 0,  M(x_{1},y_{1})\approx 0

Escribir el sistema linealizado

    K(x_{1},y_{1})= 0

 \ell(x_{1},y_{1})= 0

    M(x_{1},y_{1})= 0


\begin{pmatrix}  e^{x_{0}} & y_{0}e^{x_{0}} \\  2e^{2x_{0}} & 0 \\ 4y_{0}e^{2x_{0}y_{0}} & 4x_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = 

- \begin{pmatrix} f(x_{0},y_{0}) \\ g(x_{0},y_{0})\\ h(x_{0},y_{0}) \end{pmatrix}



\begin{pmatrix} y_{0}e^{x_{0}} & 2e^{2x_{0}} & 4y_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\\ e^{x_{0}} &  0 & 4x_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}  e^{x_{0}} & y_{0}e^{x_{0}} \\  2e^{2x_{0}} & 0 \\ 4y_{0}e^{2x_{0}y_{0}} & 4x_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} y_{0}e^{x_{0}} & 2e^{2x_{0}} & 4y_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\\ e^{x_{0}} &  0 & 4x_{0}e^{2x_{0}y_{0}}\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} f(x_{0},y_{0}) \\ g(x_{0},y_{0})\\ h(x_{0},y_{0}) \end{pmatrix}


Nodos no equidistante

Dado los nodos x_{0}=0, x_{1}= 2, x_{2}=3, determinar ponderaciones p_{0},p_{1},p_{2} tal que


\int_{x_{0}}^{x_{2}} f(x)\, dx
= (x_{2}-x_{0}) = \sum_{i=0}^2 p_{i}f(x_{i})=p_{0}f(x_{0})+ p_{1}f(x_{1})+ p_{2}f(x_{2})

sea válida para cualquier función cuadrática


      f(x)  =  a + bx + cx^2.

Paso 1: Calcular(Lado Izquierdo) 
 
\int_{0}^{3} f(x)\, dx =\begin{align} \int_{0}^{3}(a + bx + cx^2) \, dx.
   \end{align}


= \int_{0}^{3}  a \, dx +\int_{0}^{3}  bx \, dx + \int_{0}^{3}  cx^2 \, dx


= 3a+ \frac{9}{2}b+ 9c.


Paso 2: Calcular(Lado Derecho)


p_{0} f(0)+ p_{1} f(2) + p_{2} f(3)


p_{0} (a + b0 + c(0)^2) + p_{1} (a + b2 + c(2)^2) + p_{2} (a + b3 + c(3)^2)


p_{0}a + p_{1}a + p_{1}2b + p_{1}4c + p_{2}a + p_{2}3b + p_{2}9c


a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b (2p_{1} + 3p_{2}) + c (4p_{1} + 9p_{2})


Paso 3: Comparar ambos lados


3a + \frac{9}{2}b + 9c = a (p_{0} + p_{1} + p_{2}) + b (2p_{1} + 3p_{2}) + c (4p_{1} + 9p_{2})

Esta ecuación debe ser válida para cualquiera selección del triple de parámetros (a, b, c), en particular para (a, b, c) = (1, 0, 0),(0,1,0) , (0,0,1). entonces tenemos tres ecuaciones con tres variables:

 p_{0}, p_{1}, p_{2}.

Formular el sistema de tres ecuaciones, 
(1,0,0) \Rightarrow 3(1) + 0 + 0 = 1p_{0} + 1p_{1} + 1p_{2}

        A) 3 = p_{0} + p_{1} + p_{2}


(0,1,0) \Rightarrow 0+ \frac{9}{2}(1) + 0 = 0 + (1)2p_{1} + (1)3p_{2} + 0

        B) p_{1} = \frac{\frac{9}{2} - 3p_{2}}{2}


(0,0,1) \Rightarrow 0+ 0 +9 (1) = 0 + 0+ (1)(4p_{1} + 9p_{2})

        C)  p_{1} = \frac {9 - 9p_{2}}{4}


Por lo tanto, al igualar B) con C) obtenemos la siguiente ecuación:

p_{1} = \frac{9}{4}

Reemplazando  p_{1} tenemos el valor de  p_{2} = 0 Y finalmente No se pudo entender (error léxico): p_{0} = \frac{3}{4} --~~~~ [[Categoría:Entradas]]

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