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$ Utilizando \ los \ datos \ de \ observacion \ (x_{i1} , x_{i2}, y_i), \ i = 1,2,...,n , \ n- observaciones $

$ ahora \ deducir \ la \ ecuacion \ normal \ de \ forma \ general $

$ Para \ cada \ uno \ de \ los \ n \ datos \ de \ observacion , \ tenemos \ una \ ecuacion . $

$ i = 1 : y_1 = a_0 + a_1x_{11} + a_2 x_{21} $ ,

$ i = 2 : y_2 = a_0 + a_1x_{12} + a_2 x_{22} $ ,

$ i = 3 : y_3 = a_0 + a_1x_{13} + a_2 x_{23} $ ,

$ i = n : y_n = a_0 + a_1x_{1n} + a_2 x_{2n} $ ,

$ En \ total \ tenemos \ n \ ecuaciones, \ pero \ m = 3 \ parametros \ tenemos \ mas \ ecuaciones \ que \ parametros $ ,

$ El \ sistema \ se \ llama \ sobredeterminado \ y \ no cuenta \ con \ solucion, \ pero \ con \ una \ aprox. \ en \ el \ sentido \ de \ minimos \ cuadrados $ ,

$ Reformar \ el \ sistema \ sobredeterminado \ en \ forma \ matricial $ ,

$ \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{21} \\ 1 & x_{11} & x_{21} \\ 1 & x_{11} & x_{21} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{1n} & x_{2n} \end{pmatrix} \ * \ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} $

$ Tarea \ calcular \ la \ ecuacion \ normal \ para \ nuestro \ ejemplo $

$ \vec{X}^t $ ,

$ \vec{X}^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x{1n} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & \cdots & x{2n} \end{pmatrix} $

$ \vec{X}^t \vec{X} $

$ \vec{X}^t \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x{1n} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & \cdots & x{2n} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} \\ 1 & x_{12} & x_{13} \\ 1 & x_{13} & x_{13} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{1n} & x_{1n}\end{pmatrix} $

$ = \begin{pmatrix} \sum_{i = 1}^{n} 1 & \sum_{i = 1}^{n} x_{1i} & \sum_{i = 1}^{n} x_{2i} \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{1i} & \sum_{i = 1}^{n} x_{1i}^2 & \sum_{i = 1}^{n} x_{1i}x_{2i} \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{2i} & \sum_{i = 1}^{n} x_{1i}x_{2i} & \sum_{i = 1}^{n} x_{2i}^2 & \end{pmatrix} $

$ \vec{X}^t \vec{y} $

$ \vec{X}^t \vec{y} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x{1n} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & \cdots & x{2n} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_i \\ x_{1i} y_2 \\ y_{2i}y_i \end{pmatrix} $

$ Matlab $

$ x = [100 ; \ 121, \ 1252 ; \ 113 , \ 146 , \ 172]' $

$ y = [5 ; \ 10, \ 9 ; \ 0 , \ 3 , \ 27]' $

$ a = (X' * X) / (X' * y ) $

$ b = x/Y $

$ Minimos \ cuadrados \ lineales \ en \ general $

$ Modelo \ general $

$ y = a_0 z_0 + a_1 z_1 + a_2 z_2 + ... + a_m z_m + e $

$ Donde \ z_0 , z_1 ,...z_m \ son \ m+1 \ funciones \ diferentes \ por \ ejemplo $

$ Regresion \ multiple \ z_0 = 1 , z_1= x_1 ,..., z_m = x_m $

$ Regresion \ polimonial \ z_0 = x^0 , z_1= x_1 ,...z_x^m $

$ z \ pueden \ ser \ senoidales $

$ y = a_0 + a_1cos(wt) + a_2 sen(wt) $

$ \vec{y} =\vec{z}*\vec{a}+\vec{e} \ donde $

$ \begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & z_{nm} \end{pmatrix} $

$ Es \ una \ matriz \ con \ los \ valores \ de \ las \ funciones \ z \ y medidas \ de \ las \ variables \ independientes $

$ m = numeros \ de \ variables \ en \ el \ modelo $

$ n = numeros \ de \ datos \ cada \ datos \ corresponde \ a \ una \ ecuacion \ o \ fila \ de \ la \ matriz \vec{z} $

$ \vec{y}= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \ contiene \ valores \ observados \ de \ la \ variante \ dependiente $

$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \ coeficientes \ desconocidos $

$ \vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2\\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix} \ contiene \ residuos $


$ La \ suma \ de \ cuadrados \ de \ los \ residuos $

$ S_r = (\sum_{i=1}^{n} y_i \ - \ \sum_{j=0}^{m} a_j z_{ij})^2 $