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$ Modelo \ no \ lineal $

$ f(x) = \frac{a}{b + c + e^{-dx}} $

$ Tenemos \ los \ datos \ (x_i , f_i) , \ i = 1,...,n. $

$ Formular \ algoritmo \ que $

$ minimiza \ S_i = \sum_{i = 1}^{n} (f(x_1) - f_i ) ^2 $

$ min_a,b,c,d \ S(a,b,c,d) $

$ Buscamos \ los \ parametros \ a,b,c,d, \ tal \ que \ la \ curva \ (x, f(x)) , \ se \ ajusta \ de \ mejor \ manera \ a \ los \ datos $

$ Queremos \ minimizar \ S(a,b,c,d) \ criterio \ para \ un \ minimo $

$ F_1 (a,b,c,d) = \frac{ \partial S (a,b,c,d) }{ \partial a } = 0 $

$ F_2 (a,b,c,d) = \frac{ \partial S (a,b,c,d) }{ \partial b } = 0 $

$ F_3 (a,b,c,d) = \frac{ \partial S (a,b,c,d) }{ \partial c } = 0 $

$ F_4 (a,b,c,d) = \frac{ \partial S (a,b,c,d) }{ \partial d } = 0 $

$ Definir \ \tilde{f} = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ F_4 \end{pmatrix} ,\ \vec{f} = \vec{f}(a,b,c,d) $

$ Para \ encontrar \ el \ minimo \ de \ S(a,b,c,d) \ necesitamos \ encontrar \ el \ cero \ de \ \vec{f} $

$ \vec{f}(a,b,c,d) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $

$ Ejercicio \ encontrar \ los \ componentes \ de \ \vec{f} $

$ F_1 (a,b,c,d) = \frac{ \partial \sum_{i = 1}^{n} (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial a } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \partial (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial a } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} 2 (f(x_i) - f_i ) \frac{ \partial f(x_i)} {\partial a } $

$ F_2 (a,b,c,d) = \frac{ \partial \sum_{i = 1}^{n} (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial b } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \partial (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial b } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} 2 (f(x_i) - f_i ) \frac{ \partial f(x_i)} {\partial b } $

$ F_3 (a,b,c,d) = \frac{ \partial \sum_{i = 1}^{n} (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial c } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \partial (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial c } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} 2 (f(x_i) - f_i ) \frac{ \partial f(x_i)} {\partial c } $

$ F_4 (a,b,c,d) = \frac{ \partial \sum_{i = 1}^{n} (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial d } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{ \partial (f(x_i) - f_i ) ^2} {\partial d } $

$ = \sum_{i = 1}^{n} 2 (f(x_i) - f_i ) \frac{ \partial f(x_i)} {\partial d } $

$ 2. \ linealizar \ el \ modelo \ no \ lineal \ es \ decir , \ linealizar \ \vec{f}(a,b,c,d) \ para \ aproximar \ \vec{f}(\vec{p} ) = 0 \ con \ \vec{p} = (a,b,c,d) $

$ Introducimos \ \vec{P_1} = (a_i , b_i , c_i , d_i) , \ i = 0,1,2..n $

$ Ejercicio \ formular \ el \ metodo \ de \ newton \ con \ la \ especificacion \ de \ la \ funcion \vec{P_1}(a,b,c,d) $

$ \vec{F}(\vec{P_{i+1}}) = (\vec{P_i} + \begin{pmatrix} \frac{ \partial (f_1)} {\partial a } & \frac{ \partial (f_1)} {\partial b } & \frac{ \partial (f_1)} {\partial c } & \frac{ \partial (f_1)} {\partial d } \\ \frac{ \partial (f_2)} {\partial a } & \frac{ \partial (f_2)} {\partial b } & \frac{ \partial (f_2)} {\partial c } & \frac{ \partial (f_2)} {\partial d } \\ \frac{ \partial (f_3)} {\partial a } & \frac{ \partial (f_3)} {\partial b } & \frac{ \partial (f_3)} {\partial c } & \frac{ \partial (f_3)} {\partial d } \\ \frac{ \partial (f_4)} {\partial a } & \frac{ \partial (f_4)} {\partial b } & \frac{ \partial (f_4)} {\partial c } & \frac{ \partial (f_4)} {\partial d } \end{pmatrix} ) $

$ Iteracion \ con \ respecto \ a \ i -> i + 1 $

$ 1 . \ I(\vec{P_i}) \triangle P = - \vec{F_i}( \vec{P_i}) $

$ 2 . \ P_i+1 \triangle P = P_i + \triangle P $

$ Donde : $

$ \triangle P = P_{i+1} - P_i = \begin{pmatrix} a_{i+1} & - \ a_i \\ b_{i+1} & - \ b_i \\ c_{i+1} & - \ c_i \\ d_{i+1} & - \ d_i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \triangle a \\ \triangle b \\ \triangle c \\ \triangle d \end{pmatrix} $

$ Ejemplo \ Modelo \ f(t) = A \ * \ e^Bt $

$ Parametros A,B $

$ datos (t_i ,f_i) , \ i = 1,2,3,...,n $

$ El \ objetivo \ y \ la \ metodologia \ de \ minimizar \ es \ la \ misma $

$ Ejercicio \ especificar \ la \ ecuacion \ linealizada I ( \vec{P_i}) \triangle P = - F(P_i) $

$ Es \ decir \ queremos \ minimizar $

$ S = \sum_{i = 1}^{n} (f(t_i) - \ f_i)^2 $

$ Y = A * e^{BT} / ln $

$ ln(y) = ln(A) + Bt $

$ F_1(A,B) = \frac{ \partial (f(t_i) - f_i ) ^2} {\partial A } $

$ = 2 (f(t_i) - f_i ) \ * \ \frac{ \partial f(t_i)} {\partial A } $

$ F_2(A,B) = \frac{ \partial (f(t_i) - f_i ) ^2} {\partial B } $

$ = 2 (f(t_i) - f_i ) \ * \ \frac{ \partial f(t_i)} {\partial B } $